Cho phương trình: \({x^2} + \left( {4m - 1} \right)x + 2\left( {m - 4} \right) = 0\) Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\)

Câu hỏi số 502574:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} + \left( {4m - 1} \right)x + 2\left( {m - 4} \right) = 0\)

Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) có giá trị nhỏ nhất.

A. \(m = \frac{{ - 1}}{2}\)

B. \(m = 1\)

C. \(m = \frac{1}{2}\)

\(m = - 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502574

Phương pháp giải

Trước hết ta cần tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\). Đề bài cho phương trình có hai nghiệm nên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\) để \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {4m - 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32 > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 16m + 33 > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 2.4m.2 + 4 + 29 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 > 0\,\,\,\,\forall m\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) với mọi m.

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \left( {4m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2\left( {m - 4} \right)\end{array} \right.\) (1)

Ta có: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\) (2).

Thay (1) vào (2) được:

\(\begin{array}{l}A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( { - 4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32\\\,\,\,\,\,\, = 16{m^2} - 16m + 33 = {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 \ge 29,\,\,\,\forall m\\ \Rightarrow {A_{\min }} = 29 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy với \(m = \frac{1}{2}\)thì \({A_{\min }} = 29.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.