Cho phương trình: \({x^2} + \left( {4m - 1} \right)x + 2\left( {m - 4} \right) = 0\) Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\)

Câu hỏi số 502574:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} + \left( {4m - 1} \right)x + 2\left( {m - 4} \right) = 0\)

Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) có giá trị nhỏ nhất.

A. \(m = \frac{{ - 1}}{2}\)

B. \(m = 1\)

C. \(m = \frac{1}{2}\)

\(m = - 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502574

Phương pháp giải

Trước hết ta cần tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\). Đề bài cho phương trình có hai nghiệm nên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\) để \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {4m - 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32 > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 16m + 33 > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 2.4m.2 + 4 + 29 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 > 0\,\,\,\,\forall m\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) với mọi m.

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \left( {4m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2\left( {m - 4} \right)\end{array} \right.\) (1)

Ta có: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\) (2).

Thay (1) vào (2) được:

\(\begin{array}{l}A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( { - 4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32\\\,\,\,\,\,\, = 16{m^2} - 16m + 33 = {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 \ge 29,\,\,\,\forall m\\ \Rightarrow {A_{\min }} = 29 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy với \(m = \frac{1}{2}\)thì \({A_{\min }} = 29.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10