Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm

Câu hỏi số 502575:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\)

Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right| = 7.\)

A. \(m = 1\)

B. \(m = - 5\)

C. \(m = 9\)

D. \(m = 1\) hoặc \(m = - 5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502575

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\,\,\left( {\Delta ' > 0} \right)\).

Ta biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó áp dụng hệ thức Vi-et ta tìm được \(m\).

Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\) có:

\(\Delta = {\left( {m + 4} \right)^2} - 4\left( {3m + 3} \right) = {m^2} + 8m + 16 - 12m - 12 = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\forall m.\)

Suy ra, phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với \(\forall m\).

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 4\\{x_1}{x_2} = 3m + 3\end{array} \right.\) (1)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right|} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 + 2{x_1} + 1 + 2\left| {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)} \right| + {x_2}^2 + 2{x_2} + 1 = 49\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left| {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} \right| = 47\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left| {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} \right| = 47\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left( {m + 4} \right)^2} - 6\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 4} \right) + 2\left| {3m + 3 + m + 4 + 1} \right| = 47\\ \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 16 - 6m - 6 + 2m + 8 + 2\left| {4m + 8} \right| = 47\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 29 + 8\left| {m + 2} \right| = 0\,\,\,\,\,(*)\end{array}\)

+) Trường hợp 1: Với \(m \ge - 2\) thì (*) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{m^2} + 4m + 8m + 16 = 29\\ \Leftrightarrow {m^2} + 12m - 13 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 13} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,(tm)\\m = - 13\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Trường hợp 2: Với \(m < - 2\) thì (*) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{m^2} + 4m - 8m - 16 = 29\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 45 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 9} \right)\left( {m + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 9 = 0\\m + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 9\,\,\,(ktm)\\m = - 5\,\,\,(tm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 5\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10