Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm

Câu hỏi số 502575:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\)

Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right| = 7.\)

A. \(m = 1\)

B. \(m = - 5\)

C. \(m = 9\)

D. \(m = 1\) hoặc \(m = - 5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502575

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\,\,\left( {\Delta ' > 0} \right)\).

Ta biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó áp dụng hệ thức Vi-et ta tìm được \(m\).

Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\) có:

\(\Delta = {\left( {m + 4} \right)^2} - 4\left( {3m + 3} \right) = {m^2} + 8m + 16 - 12m - 12 = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\forall m.\)

Suy ra, phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với \(\forall m\).

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 4\\{x_1}{x_2} = 3m + 3\end{array} \right.\) (1)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right|} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 + 2{x_1} + 1 + 2\left| {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)} \right| + {x_2}^2 + 2{x_2} + 1 = 49\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left| {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} \right| = 47\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left| {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} \right| = 47\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left( {m + 4} \right)^2} - 6\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 4} \right) + 2\left| {3m + 3 + m + 4 + 1} \right| = 47\\ \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 16 - 6m - 6 + 2m + 8 + 2\left| {4m + 8} \right| = 47\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 29 + 8\left| {m + 2} \right| = 0\,\,\,\,\,(*)\end{array}\)

+) Trường hợp 1: Với \(m \ge - 2\) thì (*) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{m^2} + 4m + 8m + 16 = 29\\ \Leftrightarrow {m^2} + 12m - 13 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 13} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,(tm)\\m = - 13\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Trường hợp 2: Với \(m < - 2\) thì (*) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{m^2} + 4m - 8m - 16 = 29\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 45 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 9} \right)\left( {m + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 9 = 0\\m + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 9\,\,\,(ktm)\\m = - 5\,\,\,(tm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 5\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.