Cho phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (*) Với \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình

Câu hỏi số 502576:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (*)

Với \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*), giá trị lớn nhất của biểu thức\(M = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}}\) là

A. \(1\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \( - 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502576

Phương pháp giải

+ Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm.

+ Sử dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) ta có:

\(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}\)

Để phương trình trên có hai nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\) với \(\forall m\).

Áp dụng hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\) (1)

Theo đề bài ta có:

\(M = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_1^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}M = \frac{{2\left( {m - 1} \right) + 3}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{m^2} + 2 - {m^2} + 2m - 1}}{{{m^2} + 2}} = 1 - \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \le 1\\ \Rightarrow max\,\,M = 1.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.