Cho phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (*) Với \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình

Câu hỏi số 502576:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (*)

Với \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*), giá trị lớn nhất của biểu thức\(M = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}}\) là

A. \(1\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \( - 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502576

Phương pháp giải

+ Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm.

+ Sử dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) ta có:

\(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}\)

Để phương trình trên có hai nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\) với \(\forall m\).

Áp dụng hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\) (1)

Theo đề bài ta có:

\(M = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_1^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}M = \frac{{2\left( {m - 1} \right) + 3}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{m^2} + 2 - {m^2} + 2m - 1}}{{{m^2} + 2}} = 1 - \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \le 1\\ \Rightarrow max\,\,M = 1.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10