Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\) và biểu thức \(P = \frac{4}{{\left(

Câu hỏi số 502577:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\) và biểu thức \(P = \frac{4}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} + {\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\) với \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm đều khác 1 của phương trình trên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\max P = - 8 \Leftrightarrow m = - 3\)

B. \(\min P = - 8 \Leftrightarrow m = - 3\)

C. \(\min P = 8 \Leftrightarrow m = 3\)

D. \(\max P = 8 \Leftrightarrow m = 3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502577

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1, sử dụng định lý Vi-ét để biến đổi \(P\).

- Áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\) (1)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2.1.\left( {m + 1} \right) + {m^2} - 2m + 5 \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2m + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 4 \ne 0\\4m - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > 1\end{array} \right.\).

Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 5\end{array} \right.\)

Thay vào P ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{4}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} + {\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\\P = \frac{4}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} + {\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\\P = \frac{4}{{{m^2} - 2m + 5 - \left( {2m + 2} \right) + 1}} + {\left( {2m + 2 - 6} \right)^2}\\P = \frac{4}{{{m^2} - 4m + 4}} + {\left( {2m - 4} \right)^2}\\P = 4\left[ {\frac{1}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} \right]\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm, ta có: \(\frac{1}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} + {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 2 \Rightarrow P \ge 8\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(\min P = 8 \Leftrightarrow m = 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.