Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\) và biểu thức \(P = \frac{4}{{\left(

Câu hỏi số 502577:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\) và biểu thức \(P = \frac{4}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} + {\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\) với \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm đều khác 1 của phương trình trên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\max P = - 8 \Leftrightarrow m = - 3\)

B. \(\min P = - 8 \Leftrightarrow m = - 3\)

C. \(\min P = 8 \Leftrightarrow m = 3\)

D. \(\max P = 8 \Leftrightarrow m = 3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502577

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1, sử dụng định lý Vi-ét để biến đổi \(P\).

- Áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\) (1)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2.1.\left( {m + 1} \right) + {m^2} - 2m + 5 \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2m + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 4 \ne 0\\4m - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > 1\end{array} \right.\).

Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 5\end{array} \right.\)

Thay vào P ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{4}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} + {\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\\P = \frac{4}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} + {\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\\P = \frac{4}{{{m^2} - 2m + 5 - \left( {2m + 2} \right) + 1}} + {\left( {2m + 2 - 6} \right)^2}\\P = \frac{4}{{{m^2} - 4m + 4}} + {\left( {2m - 4} \right)^2}\\P = 4\left[ {\frac{1}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} \right]\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm, ta có: \(\frac{1}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} + {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 2 \Rightarrow P \ge 8\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(\min P = 8 \Leftrightarrow m = 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10