Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\) Điều kiện

Câu hỏi số 502798:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\)

Điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn biểu thức \(A = \left( {x + y} \right)\frac{1}{{m + 1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là

A. \(m = - 5\)

B. \(m = - 4\)

C. \(m = 4\)

D. \(m = 5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502798

Phương pháp giải

+ Tính \(D,\,\,{D_x},\,\,{D_y}\)

+ Tìm nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) của hệ phương trình sau đó thay \(\left( {x;\,\,y} \right)\) vào biểu thức \(A\) để tìm giá trị nhỏ nhất, từ đó tìm được \(m\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} - 1 = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\)

\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = \left( {m + 1} \right)m - 2 = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right)\)

\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}\end{array}} \right| = 2m - \left( {m + 1} \right) = m - 1\)

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\) có nghiệm \( \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D}\\y = \frac{{{D_y}}}{D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 2}}{{m + 1}}\\y = \frac{1}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Theo đề bài, ta có:

\(A = \left( {x + y} \right)\frac{1}{{m + 1}} = \frac{{m + 3}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{m + 1}} + \frac{2}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\)

Đặt \(t = \frac{1}{{m + 1}}\), biểu thức \(A\) trở thành:

\(A = 2{t^2} + t = 2\left( {{t^2} + 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot t + \frac{1}{{{4^2}}}} \right) - \frac{1}{8} = 2{\left( {t + \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{1}{8} \ge - \frac{1}{8}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow t + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{m + 1}} + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow m = - 5{\rm{ }}\left( {tm} \right)\).

Vậy GTNN của A là \( - \frac{1}{8}\) tại \(m = - 5\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.