Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\) Điều kiện

Câu hỏi số 502798:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\)

Điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn biểu thức \(A = \left( {x + y} \right)\frac{1}{{m + 1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là

A. \(m = - 5\)

B. \(m = - 4\)

C. \(m = 4\)

D. \(m = 5\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:502798

Phương pháp giải

+ Tính \(D,\,\,{D_x},\,\,{D_y}\)

+ Tìm nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) của hệ phương trình sau đó thay \(\left( {x;\,\,y} \right)\) vào biểu thức \(A\) để tìm giá trị nhỏ nhất, từ đó tìm được \(m\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} - 1 = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\)

\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = \left( {m + 1} \right)m - 2 = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right)\)

\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}\end{array}} \right| = 2m - \left( {m + 1} \right) = m - 1\)

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\) có nghiệm \( \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D}\\y = \frac{{{D_y}}}{D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 2}}{{m + 1}}\\y = \frac{1}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Theo đề bài, ta có:

\(A = \left( {x + y} \right)\frac{1}{{m + 1}} = \frac{{m + 3}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{m + 1}} + \frac{2}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\)

Đặt \(t = \frac{1}{{m + 1}}\), biểu thức \(A\) trở thành:

\(A = 2{t^2} + t = 2\left( {{t^2} + 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot t + \frac{1}{{{4^2}}}} \right) - \frac{1}{8} = 2{\left( {t + \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{1}{8} \ge - \frac{1}{8}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow t + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{m + 1}} + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow m = - 5{\rm{ }}\left( {tm} \right)\).

Vậy GTNN của A là \( - \frac{1}{8}\) tại \(m = - 5\).

Chọn A.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.