Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Để sản xuất mỗi \(kg\) sản phẩm loại \(I\) cần

Câu hỏi số 502833:

Vận dụng

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Để sản xuất mỗi \(kg\) sản phẩm loại \(I\) cần \(2kg\) nguyên liệu và \(30\) giờ; để sản xuất mỗi \(kg\) sản phẩm loại \(II\) cần \(4kg\) nguyên liệu và \(15\) giờ. Xưởng sản xuất này có \(200kg\) nguyên liệu và có thể hoạt động trong \(50\) liên tục. Biết rằng mỗi \(kg\) sản phẩm loại \(I\) thu lợi nhuận \(40\) nghìn đồng, mỗi \(kg\) sản phẩm loại \(II\) thu lợi nhuận \(30\) nghìn đồng. Hỏi ên sản xuất mỗi loại bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

A. \(20\) sản phẩm loại \(I\) và \(40\) sản phẩm loại \(II\)

B. \(50\) sản phẩm loại \(II\)

C. \(80\) sản phẩm loại \(II\)

D. \(40\) sản phẩm loại \(I\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:502833

Phương pháp giải

Bước 1: Chuyển các điều kiện trong bài toán kinh tế thành 1 hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 2: Vẽ và xác định miền nghiệm \(S\) của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Bước 3: Biểu diễn hàm cần tối ưu

\(F\left( {x;\,\,y} \right) = ax + by\) theo các ẩn \(x;\,\,y \in S\)

Bước 4: Thay tọa độ các đỉnh của miền nghiệm vào \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) để tìm \({F_{\min }}\) hoặc \({F_{\max }}\) để kết luận.

Giải chi tiết

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số sản phẩm loại \(I\) là loại \(II\) mà xưởng này sản xuất \(\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\).

Lợi nhuận thu được là: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 40x + 30y\) (nghìn đồng)

Theo bài ra, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y \le 200\\20x + 15y \le 1200\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\,\,\left( I \right)\)

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn \(\left( I \right)\) để \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 40x + 30y\) đạt giá trị lớn nhất.

Vẽ và xác định miền nghiệm của \(\left( I \right)\):

+) Miền nghiệm của \(\left( I \right)\) là tứ giác \(ABCO\) (kể cả biên)

+) \(A\left( {0;\,\,50} \right),\,\,B\left( {20;\,\,40} \right),\,\,C\left( {40;\,\,0} \right)\)

+) \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 300x + 500y\)

\(F\left( A \right) = 25000;\,\,F\left( B \right) = 26000;\,\,F\left( C \right) = 12000\)

\( \Rightarrow \max F\left( {x;\,\,y} \right) = F\left( B \right) = 26000 \Leftrightarrow x = 20;\,\,y = 40\)

Vậy cần \(20\) sản phẩm loại \(I\) và \(40\) sản phẩm loại \(II\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.