Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho họ đường thẳng dk : = = , trong đó k là tham số ( k ≠ ± 1; ). Chứng minh rằng họ đường thẳng dk luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó.

Câu hỏi số 5037:

Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho họ đường thẳng d_k : $\frac{x-3}{k+1}$ = $\frac{y+1}{2k+3}$ = $\frac{z+1}{1-k}$ , trong đó k là tham số ( k ≠ ± 1; $\frac{-3}{2}$ ). Chứng minh rằng họ đường thẳng d_k luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó.

A. (P) có phương trình – 5x + 2y + z +16 = 0 là mặt phẳng chứa d_k với mọi k.

B. (P) có phương trình – 5x + 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa d_k với mọi k.

C. (P) có phương trình 5x + 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa d_k với mọi k.

D. (P) có phương trình – 5x - 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa d_k với mọi k.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5037

Giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng cố định (P) luôn chứa d_k với mọi k có phương trình Ax + By + Cz + D = 0, |A| + |B| + |C| ≠ 0.

Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là : $\overrightarrow{n_{P}}$ = (A;B;C).

Điều kiện cần để d_k ⊂ (P), ∀k là: $\overrightarrow{u_{d_{k}}}$ ⊥ $\overrightarrow{n_{P}}$ ⇔ $\overrightarrow{u_{d_{k}}}$ . $\overrightarrow{n_{P}}$ = 0 , ∀k (7)

(d_k) có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{d_{k}}}$ = ( k + 1; 2k + 3; 1 – k)

(7) ⇔ A(k + 1) + B(2k + 3) + C(1 – k) = 0; ∀k

⇔ (A + 2B – C)k + A + 3B + C = 0; ∀k

⇔ $\left\{\begin{matrix}A+3B+C=0\\A+2B-C=0\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}A+C=-3B\\A-C=-2B\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}A=-\frac{5}{2}B\\C=-\frac{B}{2}\end{matrix}\right.$

Thay A, C vào phương trình mặt phẳng (P):

Ax + By + Cz + D = 0 => - $\frac{5}{2}$ Bx + By - $\frac{Bz}{2}$ + D = 0 (*)

Để d_k ⊂ (P) ta phải có: M(3;-1;-1), là một điểm trên d_k, phải thuộc (P) hay

- $\frac{5B}{2}$ . 3 – B + $\frac{B}{2}$ + D = 0 => D=8B

Vậy phương trình của (P): - $\frac{5}{2}$ Bx + By - $\frac{Bz}{2}$ + 8B = 0 ⇔ - 5x + 2y – z + 16 = 0

Kết luận: (P) có phương trình – 5x + 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa d_k với mọi k. Trường hợp k = -1, k= 1, k = - $\frac{3}{2}$ cũng có d_k thuộc (P).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.