Chứng minh rằng: \(M = \left( {1 - \frac{3}{{2.4}}} \right)\left( {1 - \frac{3}{{3.5}}} \right)\left( {1 -

Câu hỏi số 506916:

Vận dụng

Chứng minh rằng: \(M = \left( {1 - \frac{3}{{2.4}}} \right)\left( {1 - \frac{3}{{3.5}}} \right)\left( {1 - \frac{3}{{4.6}}} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {1 - \frac{3}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right) > \frac{1}{4}\)với \(n \in \mathbb{N};n \ge 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506916

Phương pháp giải

Xét số hạng tổng quát \(1 - \frac{3}{{n\left( {n + 2} \right)}}\) để đưa ra nhận xét chung của các tích, rút gọn biểu thức và chứng minh

Giải chi tiết

Ta có: \(1 - \frac{3}{{n\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{{n^2} + 2n - 3}}{{n\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{n\left( {n + 2} \right)}}\)

\( \Rightarrow M = \frac{{\left[ {1.2.3...\left( {n - 1} \right)} \right]\left[ {5.6.7...\left( {n + 3} \right)} \right]}}{{\left[ {2.3.4...n} \right]\left[ {4.5.6...\left( {n + 2} \right)} \right]}} = \frac{{n + 3}}{{4n}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{n + 3}}{n}\)

Ta có: \(n \ge 2;n \in \mathbb{N}\) thì \(n + 3 > n\)

\( \Rightarrow \frac{{n + 3}}{n} > 1 \Rightarrow \frac{1}{4} \cdot \frac{{n + 3}}{n} > \frac{1}{4}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link