Cho tam giác nhọn \(ABC\) không cân \(\left( {AB < AC} \right)\) có đường tròn ngoại tiếp \(\left(

Câu hỏi số 507746:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\) không cân \(\left( {AB < AC} \right)\) có đường tròn ngoại tiếp \(\left( {O;R} \right)\) và đường tròn nội tiếp \(\left( {I;r} \right)\). Đường tròn \(\left( {I;r} \right)\) tiếp xúc với các cạnh \(BC,CA,AB\) lần lượt tại \(D,E,F\). Kéo dài \(AI\) cắt \(BC\) tại \(M\) và cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm thứ hai \(N\)\(\left( {N \ne A} \right)\). Gọi \(Q\) là giao điểm của \(AI\) và \(FE\). Nối \(AD\) cắt đường tròn \(\left( {I;r} \right)\) tại điểm thứ hai là \(P\,\,\left( {P \ne D} \right)\) . Kéo dài \(DQ\) cắt đường tròn \(\left( {I;r} \right)\) tại điểm thứ hai là \(T\,\,\left( {T \ne D} \right)\). Chứng minh rằng

a) \(A{F^2} = AP.AD\)

b) Tứ giác \(PQID\) nội tiếp và \(N{B^2} = NM.NA\);

c) \(QA\) là phân giác của \(\angle PQT\)

d) \(\angle ADF = \angle QDE\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507746

Phương pháp giải

a) Vận dụng kiến thức góc – đường tròn và tính chất của tam giác đồng dạng

b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp

Vận dụng kiến thức góc – đường tròn và tính chất của tam giác đồng dạng

c) Vận dụng tính chất của các góc trong tứ giác nội tiếp và kiến thức góc – đường tròn.

d) Vận dụng kiến thức góc – đường tròn và tính chất của tam giác đồng dạng

Giải chi tiết

a) Vì \(\left( {ABC} \right)\) ngoại tiếp \(\left( {I;r} \right)\) nên \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) lần lượt là các tiếp tuyến của \(\left( {I;r} \right)\) tại \(F,\,D,\,\,E.\)

Trong đường tròn \(\left( {I;r} \right)\) ta có: \(\angle AFP = \angle ADF\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng cùng chắn cung \(PF\)).

Xét \(\Delta APF\) và \(\Delta AFD\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle FAP = \angle FAD\\\angle AFP = \angle ADF\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \Delta APF \sim \Delta AFD\,\,\left( {g.g} \right)\).

\( \Rightarrow \frac{{FA}}{{AD}} = \frac{{AP}}{{FA}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow F{A^2} = AD.AP\) (đpcm).

b) +) Trong \(\left( {I;r} \right)\) ta có \(AE,\,\,AF\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(A\) nên \(AE = AF\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow A\) thuộc trung trực của \(EF\).

Lại có \(IE = IF = r \Rightarrow I\) thuộc trung trực của \(EF\).

\( \Rightarrow AI\) là trung trực của \(EF\) \( \Rightarrow AI \bot EF\).

Xét tam giác \(FIA\) vuông tại \(F\) có \(AI \bot EQ\) nên \(A{F^2} = AQ.AI\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Mặt khác: \(F{A^2} = AD.AP\) (theo ý a).

Suy ra \(AD.AP = AQ.AI \Rightarrow \frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AI}}{{AD}}\).

Xét \(\Delta API\) và \(\Delta AQD\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle PAI = \angle DAQ\\\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AI}}{{AD}}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta API \sim \Delta AQD\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AIP = \angle ADQ\)( hai góc tương ứng) hay \(\angle QIP = \angle QDP\).

Suy ra \(PQID\) nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

+) Ta có: \(AI\) là phân giác của \(\angle BAC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\angle NAB = \angle NAC\).

Trong \(\left( O \right)\) có: \(\angle NAC = \angle NBC\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(NC\)).

Suy ra \(\angle NBC = \angle NAB \Rightarrow \angle NBM = \angle NAB\).

Xét \(\Delta NMB\) và \(\Delta NBA\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle NBM = \angle NAB\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle MNB = \angle ANB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta NMB \sim \Delta NBA\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

Suy ra \(\frac{{NM}}{{NB}} = \frac{{NB}}{{NA}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow N{B^2} = NM.NA\) (đpcm).

c) Vì tứ giác \(PQID\) nội tiếp (cmt) nên \(\angle AQP = \angle IDP\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Lại có \(IP = ID = r\) nên \(\Delta IDP\) cân tại \(I \Rightarrow \angle IDP = \angle IPD\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle AQP = \angle IPD\).

Vì tứ giác \(PQID\) nội tiếp (cmt) nên ta lại có \(\angle IPD = \angle IQD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(ID\)), mà \(\angle IQD = \angle AQT\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \angle AQP = \angle AQT\).

\( \Rightarrow QA\) là phân giác của \(\angle PQT\).

d) Ta có \(QA\) là phân giác của \(\angle PQT\,\,\left( {cmt} \right)\), mà \(EF \bot AI\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow EF \bot QA\) \( \Rightarrow EF\) là phân giác ngoài của \(\angle PQT\).

Lại có \(\angle PQT\) và \(\angle PQD\) là 2 góc kề bù nên \(EF\) là phân giác của \(\angle PQD\).

\( \Rightarrow \angle PQF = \frac{1}{2}\angle PQI = \frac{1}{2}\angle PID\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(PD\)).

Mà \(\angle PED = \frac{1}{2}\angle PID\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(PD\)) \( \Rightarrow \angle PQF = \angle PED\).

Xét \(\Delta PQF\) và \(\Delta PED\) có:

\(\angle PQF = \angle PED\,\,\,\left( {cmt} \right)\);

\(\angle PFQ = \angle PDE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(PE\) trong đường tròn \(\left( I \right)\)).

\( \Rightarrow \Delta PQF \sim \Delta PED\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{PF}}{{PD}} = \frac{{QF}}{{ED}} \Rightarrow \frac{{PF}}{{PD}} = \frac{{EQ}}{{ED}}\) (do \(AI\) là trung trực của \(EF,\,\,Q \in AI\)).

Xét \(\Delta FPD\) và \(\Delta QED\) có:

\(\angle FPD = \angle QED\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(DF\) của đường tròn \(\left( I \right)\));

\(\frac{{PF}}{{PD}} = \frac{{EQ}}{{ED}}\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow \Delta FPD \sim \Delta QED\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle FDD = \angle QDE\) (2 góc tương ứng).

Vậy \(\angle ADF = \angle QDE\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link