Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (trong đó \(m\) là tham số).a) Chứng minh

Câu hỏi số 507745:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (trong đó \(m\) là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện:

\(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1} \right) < 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507745

Phương pháp giải

a) Tính \(\Delta '\), vận dụng hằng đẳng thức để chứng minh.

b) Áp dụng hệ thức Vi – ét để xác định giá trị của tham số \(m\)

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2m - 5} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 6\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2\end{array}\)

Vì \({\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 \ge 2 > 0\,\,\forall m\) nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

b) Vì \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) nên ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2m - 5 = 0\\x_2^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_2} + 2m - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1} + 2m - 5 = 0\\x_2^2 - 2m{x_2} + 2{x_2} + 2m - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 + 2{x_1} - 4 = 0\\x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1 + 2{x_2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = 4 - 2{x_1}\\x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1 = 4 - 2{x_2}\end{array} \right.\end{array}\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {4 - 2{x_1}} \right)\left( {4 - 2{x_2}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {2 - {x_1}} \right)\left( {2 - {x_2}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 4 - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} < 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\), khi đó

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 4 - 4\left( {m - 1} \right) + 2m - 5 < 0\\ \Leftrightarrow 4 - 4m + 4 + 2m - 5 < 0\\ \Leftrightarrow - 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(m > \frac{3}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link