Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} =

Câu hỏi số 510200:

Vận dụng

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt {3{x^2} + 33} + 3\sqrt {2x + y - 1} = 3x + y + 6\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

A. \(\left\{ {\left( {1;0} \right),\left( { - 4;3} \right),\left( {64; - 63} \right)} \right\}\)

B. \(\left\{ {\left( {1;0} \right),\left( {4;3} \right),\left( {64; - 63} \right)} \right\}\)

C. \(\left\{ {\left( {1;0} \right),\left( {4; - 3} \right),\left( {64;63} \right)} \right\}\)

D. \(\left\{ {\left( {1;0} \right),\left( {4; - 3} \right),\left( {64; - 63} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510200

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình.

Biến đổi phương trình (1) để xuất hiện \(x + y;xy\)

Đặt \(S = x + y,\,\,P = xy\,\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\) để xác định mối quan hệ của \(x\) và \(y\).

Thay vào phương trình (2), giải phương trình, đối chiếu điều kiện, kết luận.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 \ge 0\\x + y \ne 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - 2xy\left( {x + y} \right) + 2xy = \left( {x + y} \right)\end{array}\)

Đặt \(S = x + y,\,\,P = xy\,\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{S^3} - 2SP + 2P = S\\ \Leftrightarrow S\left( {S + 1} \right)\left( {S - 1} \right) - 2P\left( {S - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {S - 1} \right)\left( {{S^2} + S - 2P} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}S = 1\\{S^2} + S - 2P = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 1\\{x^2} + {y^2} + x + y = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: Với \(x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x\), thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} + 33} + 3\sqrt {2x + 1 - x - 1} = 3x + 1 - x + 6\\ \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} + 33} + 3\sqrt x = 2x + 7\\ \Rightarrow 3{x^2} + 33 + 2\sqrt {3{x^2} + 33} .3\sqrt x + 9x = 4{x^2} + 28x + 49\\ \Rightarrow 6\sqrt {3{x^2} + 33} .\sqrt x = {x^2} + 19x + 16\\ \Rightarrow 36\left( {3{x^2} + 33} \right)x = {x^4} + 361{x^2} + 256 + 38{x^3} + 32{x^2} + 608x\\ \Leftrightarrow {x^4} - 70{x^3} + 393{x^2} - 580x + 256 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 4} \right)\left( {x - 64} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\x = 4 \Rightarrow y = - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\x = 64 \Rightarrow y = - 63\,\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

TH2: Với \({x^2} + {y^2} + x + y = 0\). Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn \(x\).

Để tồn tại \(x\) thì \(\Delta = 1 - 4\left( {{y^2} + y} \right) \ge 0\) \( \Leftrightarrow 4{y^2} + 4y - 1 \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left( {y + \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right)\left( {y + \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \le y \le \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Tương tự ta cũng có \( - \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \le x \le \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra \(2x + y - 1 \le 2.\frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2} - 1 < 0\), không thỏa mãn điều kiện \(2x + y - 1 \ge 0\) nên trường hợp này hệ vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là \(\left\{ {\left( {1;0} \right),\left( {4; - 3} \right),\left( {64; - 63} \right)} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link