Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right)\) có các đường cao \(BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(S\) là giao điểm của các đường thẳng \(BC\) và \(EF\), gọi \(M\) là giao điểm khác \(A\) của \(SA\) và đường tròn \(\left( O \right)\).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(AEHF\) nội tiếp và \(HM\) vuông góc với \(SA\).
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng \(SH\) vuông góc với \(AI\).
c) Gọi \(T\) là điểm nằm trên đoạn thẳng \(HC\) sao cho \(AT\) vuông góc với \(BT\). Chứng minh rằng hai đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \(SMT\) và \(CET\) tiếp xúc với nhau.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp nội tiếp để chứng minh \(5\) điểm \(A,M,F,H,E\) cùng nằm trên đường tròn đường tròn đường kính \(AH\), suy ra \(HM \bot SA\).
b) Kéo dài \(AO\) cắt đường tròn tại \(D\), khi đó \(BHCD\) là hình bình hành
Chứng minh các điểm thẳng hàng để suy ra điều phải chứng minh.
c) Gọi tia \(AH\) cắt \(BC\) tại \(K\), khi đó tứ giác \(HKSM\) nội tiếp
Vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng và tiếp tuyến của đường tròn.
a) Vì \(\angle AEH + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\) (dhnb).
Có tứ giác \(BCEF\) nội tiếp \(\left( {\angle BEC = \angle BFC = 90^\circ } \right)\).
\( \Rightarrow \angle SFB = \angle SCE\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
\( \Rightarrow \Delta SBF \sim \Delta SEC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow SB.SC = SF.SE\)
Có tứ giác \(BCAM\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow \Delta SBM \sim \Delta SAC \Rightarrow SB.SC = SM.SA\).
Suy ra \(SF.SE = SM.SA \Rightarrow \frac{{SF}}{{SM}} = \frac{{SA}}{{SE}}\).
\( \Rightarrow \Delta SMF \sim \Delta SEA \Rightarrow \widehat {SMF} = \widehat {SEA} \Rightarrow AMFE\) là tứ giác nội tiếp
Suy ra \(5\) điểm \(A,M,F,H,E\) cùng nằm trên đường tròn đường tròn đường kính \(AH\), suy ra \(HM \bot SA\).
b) Kéo dài \(AO\) cắt đường tròn tại \(D\), khi đó ta có \(DC\,{\rm{//}}\,BH\)(cùng vuông góc với \(CA\)) và \(DB\,{\rm{//}}\,CH\) (cùng vuông góc với \(BA\)) nên \(BHCD\) là hình bình hành
Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(I\) là trung điểm của \(HD\), hay \(I,H,D\) thẳng hàng.
Lại có \(DM \bot AM\) do \(AD\) là đường kính, \(HM \bot SA\) nên \(D,H,M\) thẳng hàng
Vậy bốn điểm \(D,\,\,I,\,\,H,\,M\) thẳng hàng, suy ra \(IM \bot AS\)
Mà \(AH \bot SI\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ASI \Rightarrow SH \bot AI\).
c) Gọi tia \(AH\) cắt \(BC\) tại \(K\), thế thì tứ giác \(HKSM\) nội tiếp do \(\angle HKS + \angle HMS = 180^\circ \).
\( \Rightarrow \Delta AMH \sim \Delta AKS \Rightarrow AH.AK = AM.AS\)
Lại có tứ giác \(HKEC\) nội tiếp suy ra \(\Delta AEH \sim \Delta AKC \Rightarrow AE.AC = AH.AK\)
Suy ra \(AM.AS = AE.AC\).
Theo giả thiết, \(\angle ATB = \angle AEB = 90^\circ \Rightarrow AETB\) là tức giác nội tiếp, suy ra \(\angle ATE = \angle ABE\),
Mà \(ABE = \angle ACT \Rightarrow \angle ATE = \angle ACT\)
\( \Rightarrow \Delta ACT \sim \Delta ATE \Rightarrow AE.AC = A{T^2}\)
Vì \(\widehat {ATE} = \widehat {ACT}\) nên \(AT\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(CET\,\,\left( 1 \right)\)
Lại có \(AM.AS = AE.AC = A{T^2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AT}} = \frac{{AT}}{{AS}}\).
\( \Rightarrow \Delta ATM \sim \Delta AST\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ATM = \angle AST\) (2 góc tương ứng).
Suy ra \(AT\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(SMT\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra hai đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \(SMT\) và \(CET\) tiếp xúc với nhau.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
