Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc\). Tìm giá trị

Câu hỏi số 510203:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(T = \frac{a}{{3{a^2} + 2{b^2} + {c^2}}} + \frac{b}{{3{b^2} + 2{c^2} + {a^2}}} + \frac{c}{{3{c^2} + 2{a^2} + {b^2}}}\) 5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510203

Phương pháp giải

Biến đổi \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc \Leftrightarrow \frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}} = 3\)

Vận dụng bất đẳng thức AM – GM chứng minh được: \(\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \ge 2\sqrt {\frac{a}{{bc}}.\frac{b}{{ca}}} = \frac{2}{c}\) và tương tự cũng chứng minh được \(\frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}} \ge \frac{2}{a};\frac{a}{{bc}} + \frac{c}{{ab}} \ge \frac{2}{b}\)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM – GM chứng minh được: \(\frac{a}{{3{a^2} + 2{b^2} + {c^2}}} \le \frac{1}{2}.\frac{1}{{2b + c}}\)

Áp dụng Cauchy – Schwarz chứng minh được: \(\frac{1}{2}.\frac{1}{{2b + c}} \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{2}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)

Từ đó, ta có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc \Leftrightarrow \frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}} = 3\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \ge 2\sqrt {\frac{a}{{bc}}.\frac{b}{{ca}}} = \frac{2}{c}\\\frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}} \ge 2\sqrt {\frac{b}{{ca}}.\frac{c}{{ab}}} = \frac{2}{a}\\\frac{a}{{bc}} + \frac{c}{{ab}} \ge 2\sqrt {\frac{a}{{bc}}.\frac{c}{{ab}}} = \frac{2}{b}\\ \Rightarrow 2\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}}} \right) \ge 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\\ \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le 3\end{array}\)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(3{a^2} + 2{b^2} + {c^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2}} \right) \ge 4ab + 2ac\)

\( \Rightarrow \frac{a}{{3{a^2} + 2{b^2} + {c^2}}} \le \frac{a}{{4ab + 2ac}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{{2b + c}}\)

Áp dụng Cauchy – Schwarz ta có: \(\frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{b + b + c}} \Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{1}{{2b + c}} \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{2}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(\frac{b}{{3{b^2} + 2{c^2} + {a^2}}} \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{2}{c} + \frac{1}{a}} \right);\frac{c}{{3{c^2} + 2{a^2} + {b^2}}} \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{2}{a} + \frac{1}{b}} \right)\)

Suy ra \(T \le \frac{1}{6}.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \le \frac{1}{6}.3 \Rightarrow T \le \frac{1}{2}\).

Vậy GTLN của \(T\) là \(\frac{1}{2}\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 1.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link