Giả sử \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn điểu kiện \(n\left( {n + 1} \right) + 7\) không chia

Câu hỏi số 510202:

Vận dụng

Giả sử \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn điểu kiện \(n\left( {n + 1} \right) + 7\) không chia hết cho \(7\). Chứng minh rằng \(4{n^3} - 5n - 1\) không là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510202

Phương pháp giải

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: Giả sử tồn tại số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điểu kiện \(n\left( {n + 1} \right) + 7\) không chia hết cho \(7\) và \(4{n^3} - 5n - 1\) là số chính phương.

Giải chi tiết

Giả sử tồn tại số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điểu kiện \(n\left( {n + 1} \right) + 7\) không chia hết cho \(7\) và \(4{n^3} - 5n - 1\) là số chính phương.

Ta có \(4{n^3} - 5n - 1 = \left( {n + 1} \right)\left( {4{n^2} - 4n - 1} \right)\)

Đặt ƯCLN \(\left( {n + 1;4{n^2} - 4n - 1} \right) = d\,\,\,\,\left( {d \in \mathbb{N}*} \right)\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}n + 1\,\, \vdots \,\,d\\4{n^2} - 4n - 1\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\)

Có \(4{n^2} - 4n - 1 = 4n\left( {n + 1} \right) - 8\left( {n + 1} \right) + 7\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow 7\,\, \vdots \,\,d\)

Vì \(n\left( {n + 1} \right) + 7\) không chia hết cho \(7\) nên \(n\left( {n + 1} \right)\) không chia hết cho \(7\), suy ra \(n + 1\) không chia hết cho \(7\), suy ra \(d \ne 7 \Rightarrow d = 1\).

Do đó, \(n + 1\) và \(4{n^2} - 4n - 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau, mà tích của chúng là số chính phương suy ra \(n + 1\) và \(4{n^2} - 4n - 1\) là các số chính phương.

Suy ra \(4{n^2} - 4n - 1 = {a^2}\left( {a \in \mathbb{N}} \right) \Leftrightarrow {\left( {2n - 1} \right)^2} - {a^2} = 2 \Leftrightarrow \left( {2n - a - 1} \right)\left( {2n + a - 1} \right) = 2\)

Vì \(2n - a - 1 \le 2n + a - 1\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2n - a - 1 = 1\\2n + a - 1 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2n - a - 1 = - 2\\2n + a - 1 = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{5}{4}\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}n = - \frac{1}{4}\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\), không thỏa mãn \(n,\,\,a\) là các số tự nhiên.

Vậy giả sử là sai, ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link