Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 4m - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right),\) với \(m\) là tham số.

Câu hỏi số 510703:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 4m - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right),\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} + {x_1}{x_2} = 20.\)

A. \(m = 2\)

B. \(m = 5\)

C. \(m = 7\)

D. không tồn tại giá trị của \(m\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510703

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)

Từ yêu cầu của đề bài, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tìm được \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\)

Thay vào phương trình và tìm ra tham số \(m\).

Giải chi tiết

Phương trình \({x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 4m - 4 = 0\,\)có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} - 4\left( {4m - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 - 16m + 16 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 25 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 5} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m \ne 5.\end{array}\)

Với \(m \ne 5\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)

Theo đề bài ta có: \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} + {x_1}{x_2} = 20\,\,\,\left( 2 \right)\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \ge 0\\{x_2} \ge 0\end{array} \right..\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\m + 3 \ge 0\\4m - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\m \ge - 3\\m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \ne 5\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 3\\{x_1}{x_2} = 4m - 4\end{array} \right..\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2}\\ = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ = m + 3 + 2\sqrt {4m - 4} \\ = m + 3 + 4\sqrt {m - 1} \\ = m - 1 + 4\sqrt {m - 1} + 4\\ = {\left( {\sqrt {m - 1} + 2} \right)^2}.\\ \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = \sqrt {m - 1} + 2\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt {m - 1} + 2 > 0\,\,\forall m \ge 1} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} + {x_1}{x_2} = 20\,\,\,\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} + 2 + 4m - 4 = 20\\ \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} = 22 - 4m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}22 - 4m \ge 0\\m - 1 = {\left( {22 - 4m} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{{11}}{2}\\m - 1 = 484 - 176m + 16{m^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{{11}}{2}\\16{m^2} - 177m + 485 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{{11}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{97}}{{16}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\,\\m = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 5\,\,\left( {ktm\,\,\left( * \right)} \right)\end{array}\)

Vậy không tồn tại giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link