Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 4m - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right),\) với \(m\) là tham số.

Câu hỏi số 510703:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 4m - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right),\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} + {x_1}{x_2} = 20.\)

A. \(m = 2\)

B. \(m = 5\)

C. \(m = 7\)

D. không tồn tại giá trị của \(m\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510703

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)

Từ yêu cầu của đề bài, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tìm được \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\)

Thay vào phương trình và tìm ra tham số \(m\).

Giải chi tiết

Phương trình \({x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 4m - 4 = 0\,\)có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} - 4\left( {4m - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 - 16m + 16 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 25 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 5} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m \ne 5.\end{array}\)

Với \(m \ne 5\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)

Theo đề bài ta có: \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} + {x_1}{x_2} = 20\,\,\,\left( 2 \right)\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \ge 0\\{x_2} \ge 0\end{array} \right..\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\m + 3 \ge 0\\4m - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\m \ge - 3\\m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \ne 5\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 3\\{x_1}{x_2} = 4m - 4\end{array} \right..\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2}\\ = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ = m + 3 + 2\sqrt {4m - 4} \\ = m + 3 + 4\sqrt {m - 1} \\ = m - 1 + 4\sqrt {m - 1} + 4\\ = {\left( {\sqrt {m - 1} + 2} \right)^2}.\\ \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = \sqrt {m - 1} + 2\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt {m - 1} + 2 > 0\,\,\forall m \ge 1} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} + {x_1}{x_2} = 20\,\,\,\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} + 2 + 4m - 4 = 20\\ \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} = 22 - 4m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}22 - 4m \ge 0\\m - 1 = {\left( {22 - 4m} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{{11}}{2}\\m - 1 = 484 - 176m + 16{m^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{{11}}{2}\\16{m^2} - 177m + 485 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{{11}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{97}}{{16}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\,\\m = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 5\,\,\left( {ktm\,\,\left( * \right)} \right)\end{array}\)

Vậy không tồn tại giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link