Cho tam giác nhọn \(ABC\) có trực tâm\(H\) và các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\). Gọi \(I\) và \(K\)

Câu hỏi số 511979:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có trực tâm\(H\) và các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\). Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc cuả \(H\) trên \(EF\) và \(ED\). Hai đường thẳng \(IK\) và \(AD\) cắt nhau tại \(M\). Hai đường thẳng\(FM\) và \(DE\) cắt nhau tại \(N\). Gọi \(S\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(D\). Chứng minh rằng ba điểm \(A,\,\,N,\,\,S\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:511979

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp; tính chất hai góc phụ nhau; cụ thể:

+ Tứ giác \(IHKE\) nội tiếp ; Tứ giác \(BFEC\) nội tiếp; Tứ giác \(HDCE\) nội tiếp

+ \(\angle HKI = \angle HCD\)

+ \(\angle FKM = \angle MHC\)

+ \(\angle HFN = \angle HNM\) (tính chất bắc cầu)

Giải chi tiết

Ta có:

Tứ giác \(IHKE\) có \(\angle HKE + \angle HIE = {180^0}\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(IHKE\) nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle IKH = \angle IEH\)( hai góc cùng chắn một cung) (1)

Tứ giác \(BFEC\) có \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\)

Suy ra tứ giác \(BFEC\) có \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \) Tứ giác \(BFEC\) nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle FEB = \angle FCB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)) (2)

Tứ giác \(HDCE\) có \(\angle HEC + \angle HDC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(HDCE\) nội tiếp

\( \Rightarrow \angle HED = \angle HCD\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HD\)) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\angle HKI = \angle HCD\).

Mặt khác \(\angle FKM = {90^0} + \angle HKI\), \(\angle MHC = {90^0} + \angle HCD\)(tính chất góc ngoài tam giác \(HDC\))

Suy ra \(\angle FKM = \angle MHC\).

Suy ra tứ giác \(FKMH\) nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện).

Suy ra \(\angle FMH = \angle FKH = {90^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(FH\)) hay \(FM \bot AH\).

Tứ giác \(FKMH\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle MFH = \angle HKM\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HM\))

Tứ giác \(HMNI\) có \(\angle HMN + \angle HIN = {180^0}\) suy ra tứ giác \(HMNI\) nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle HNM = \angle HIM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HM\))

Mặt khác ta có

\(\begin{array}{l}\angle HKI = \angle HEI\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle HIK = \angle HEK\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle HEI = \angle HEK\,\,( = \angle HCD)\end{array}\)

Suy ra \(\angle HFN = \angle HNM\).

Suy ra tam giác \(HNF\) cân tại \(H\) (tam giác có hai góc bằng nhau)

Lại có: \(HM \bot FN\), suy ra \(M\) là trung điểm của \(FN\) (trong tam giác cân, đường cao đồng thời là trung tuyến).

Ta có: \(N\) là điểm đối xứng của \(F\) qua \(M\)

\(S\) là điểm đói xứng của \(B\) qua \(D\)

\(A\) là điểm đối xứng của \(A\)

Mặt khác \(A,F,B\) thẳng hàng,\(A,\,\,M,\,\,D\) thẳng hàng nên \(A,S,N\) thẳng hàng (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link