Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x + x - \sqrt

Câu hỏi số 512177:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x + x - \sqrt x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{3\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{3x + 3\sqrt x }}} \right)\)\(\left( {x > 0,x \ne 1} \right)\)

Tìm tất cả các giá trị của \(x\) sao cho biểu thức \(A\) nhận giá trị là số nguyên.

A. \(x = 2\)

B. \(x = 1\)

C. \(x = 4\)

D. \(x = 5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512177

Phương pháp giải

Xác định điều kiện của biểu thức

Thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Lấy tử thức chia cho mẫu thức, biện luận để tìm giá trị nguyên của \(x\)

Tìm được \(x\), đối chiếu điều kiện và đưa ra kết luận.

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x + x - \sqrt x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{3\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{3x + 3\sqrt x }}} \right)\\A = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{1}{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]\\A = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)} \right]\\A = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}} \right]\\A = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right]:\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\sqrt x + 3 - 3}}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\\A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)\\\sqrt x + 1 \ge 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 1 = 1\\\sqrt x + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\,\end{array}\)

Vậy \(x = 4\) thì \(A\) nguyên.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link