Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x + x - \sqrt

Câu hỏi số 512177:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x + x - \sqrt x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{3\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{3x + 3\sqrt x }}} \right)\)\(\left( {x > 0,x \ne 1} \right)\)

Tìm tất cả các giá trị của \(x\) sao cho biểu thức \(A\) nhận giá trị là số nguyên.

A. \(x = 2\)

B. \(x = 1\)

C. \(x = 4\)

D. \(x = 5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512177

Phương pháp giải

Xác định điều kiện của biểu thức

Thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Lấy tử thức chia cho mẫu thức, biện luận để tìm giá trị nguyên của \(x\)

Tìm được \(x\), đối chiếu điều kiện và đưa ra kết luận.

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x + x - \sqrt x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{3\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{3x + 3\sqrt x }}} \right)\\A = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{1}{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]\\A = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)} \right]\\A = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}} \right]\\A = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right]:\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\sqrt x + 3 - 3}}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\\A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)\\\sqrt x + 1 \ge 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 1 = 1\\\sqrt x + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\,\end{array}\)

Vậy \(x = 4\) thì \(A\) nguyên.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link