Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 2mx + 3\,\,\,(m \ne

Câu hỏi số 512179:

Vận dụng

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 2mx + 3\,\,\,(m \ne 0)\). Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng \(6\,c{m^2}\) (Với O là gốc tọa độ, đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet).

A. \(m = 1\)

B. \(m = 2\)

C. \(m = \pm 2\)

D. \(m = \pm 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512179

Phương pháp giải

Xét phương hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\)

Tìm điều kiện để \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)

Gọi giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là , theo ứng dụng của hệ thức Vi – ét, xác định được \(A,B\) nằm về hai phía trục tung.

Với \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(A,B\) trên trục \(Oy\)

Tính \(OI;AH;BK\) sau đó tính \({S_{\Delta OAB}}\)

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\)và \(\left( P \right)\) là:

\({x^2} = 2mx + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} + 3 > 0\,\,\forall m\) nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \) \(\left( d \right)\) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

Ta thấy \(\left( d \right)\)luôn đi qua điểm cố định \(I(0;\,\,3)\) nằm trên trục tung.

Gọi là giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) thì theo định lí Vi-ét ta có \({x_1}.{x_2} = - 3 < 0\) nên hai giao điểm A, B nằm về hai phía trục tung.

Giả sử \({x_1} < 0 < {x_2}\) thì ta có: \({S_{OAB}} = {S_{OAI}} + {S_{OBI}} = \frac{1}{2}AH.OI + \frac{1}{2}BK.OI = \frac{1}{2}OI.\left( {AH + BK} \right)\)

Với H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A, B trên trục Oy.

Ta có: \(OI = 3,\,AH = \left| {{x_1}} \right| = - {x_1},\,\,BK = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}.\)

Suy ra: \({S_{OAB}} = \frac{3}{2}({x_2} - {x_1}) \Rightarrow {S^2}_{OAB} = \frac{9}{4}{({x_2} - {x_1})^2} = \frac{9}{4}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\)

Theo Vi-ét có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m}\\{{x_1}.{x_2} = - 3}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {S^2}_{AOB} = \frac{9}{4}.(4{m^2} + 12) = 9{m^2} + 27 = {6^2} \Rightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\).

Vậy \(m = \pm 1\).

\(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link