Cho \(f\left( n \right) = \frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\,\,\left(

Câu hỏi số 512178:

Vận dụng

Cho \(f\left( n \right) = \frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Chứng minh \(f\left( n \right) < \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\)với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) và \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2021} \right) < \frac{1}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512178

Phương pháp giải

Biến đổi, rút gọn \(f\left( n \right)\)

Vận dụng bất đẳng thức \(A + B \ge 2\sqrt {AB} \)

Tính \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2021} \right)\), sau đó rút gọn và có điều phải chứng minh

Giải chi tiết

Biểu thức \(f\left( n \right)\) xác định với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( n \right) = \frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\left( {2n + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {n + 1} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt n } \right)}^2}} \right]}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{2n + 1}}\end{array}\)

Ta lại có: \(2n + 1 = \left[ {{{\left( {\sqrt {n + 1} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt n } \right)}^2}} \right] \ge 2.\sqrt {n + 1} .\sqrt n \)

\( \Rightarrow f\left( n \right) \le \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{2\sqrt {n + 1} .\sqrt n }} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) (đpcm).

Với \(f\left( n \right) \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2021} \right)\\ \le \frac{1}{2}.\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}} \right) + \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt {2 + 1} }}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{\sqrt {2021} }} - \frac{1}{{\sqrt {2021 + 1} }}} \right)} \right]\\ \le \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {2020} }} - \frac{1}{{\sqrt {2021} }} + \frac{1}{{\sqrt {2021} }} - \frac{1}{{\sqrt {2022} }}} \right)\\ \le \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {2022} }}} \right) < \frac{1}{2}.1 = \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2021} \right) < \frac{1}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link