Cho \(f\left( n \right) = \frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\,\,\left(

Câu hỏi số 512178:

Vận dụng

Cho \(f\left( n \right) = \frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Chứng minh \(f\left( n \right) < \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\)với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) và \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2021} \right) < \frac{1}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512178

Phương pháp giải

Biến đổi, rút gọn \(f\left( n \right)\)

Vận dụng bất đẳng thức \(A + B \ge 2\sqrt {AB} \)

Tính \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2021} \right)\), sau đó rút gọn và có điều phải chứng minh

Giải chi tiết

Biểu thức \(f\left( n \right)\) xác định với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( n \right) = \frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\left( {2n + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {n + 1} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt n } \right)}^2}} \right]}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{2n + 1}}\end{array}\)

Ta lại có: \(2n + 1 = \left[ {{{\left( {\sqrt {n + 1} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt n } \right)}^2}} \right] \ge 2.\sqrt {n + 1} .\sqrt n \)

\( \Rightarrow f\left( n \right) \le \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{2\sqrt {n + 1} .\sqrt n }} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) (đpcm).

Với \(f\left( n \right) \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2021} \right)\\ \le \frac{1}{2}.\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}} \right) + \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt {2 + 1} }}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{\sqrt {2021} }} - \frac{1}{{\sqrt {2021 + 1} }}} \right)} \right]\\ \le \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {2020} }} - \frac{1}{{\sqrt {2021} }} + \frac{1}{{\sqrt {2021} }} - \frac{1}{{\sqrt {2022} }}} \right)\\ \le \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {2022} }}} \right) < \frac{1}{2}.1 = \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2021} \right) < \frac{1}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link