Cho đường tròn \(\left( {O;3cm} \right)\) và điểm \(M\) sao cho \(OM = 6cm\). Từ điểm \(M\) kẻ hai

Câu hỏi số 512306:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( {O;3cm} \right)\) và điểm \(M\) sao cho \(OM = 6cm\). Từ điểm \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) đến đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A\) và \(B\) là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng \(OA\) lấy điểm \(D\) (\(D\) khác \(A\) và \(O\)), dựng đường thẳng vuông góc với \(OA\) tại \(D\) và cắt \(MB\) tại \(E\).

a) Chứng minh tứ giác \(ODEB\) nội tiếp đường tròn.

b) Tứ giác \(ADEM\) là hình gì? Vì sao?

c) Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(MO\) và \(\left( O \right)\) sao cho \(O\) nằm giữa điểm \(M\) và \(K\). Chứng minh tứ giác \(AMBK\) là hình thoi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512306

Phương pháp giải

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng quan hê từ vuông góc đến song song, suy ra \(AM//DE\).

Lại có \(\angle DAM = \angle ADE = {90^0}\), nên \(ADEM\) là hình thang vuông.

c) Gọi \(\left\{ H \right\} = AB \cap OM\).

Vận dụng kiến thức về đường trung trực, hệ thức lượng trong tam giác vuông, mối quan hệ góc – đường tròn

Vận dụng định nghĩa hình thoi để chứng minh \(AMBK\) là hình thoi.

Giải chi tiết

a) Vì \(MA,\,\,MB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\angle OAM = \angle OBM = {90^0}\).

Xét tứ giác \(ODEB\) có: \(\angle ODE + \angle OBE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

\( \Rightarrow ODEB\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot OA\,\,\left( {gt} \right)\\DE \bot OA\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AM//DE\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow ADEM\) là hình thang.

Lại có \(\angle DAM = \angle ADE = {90^0}\) nên \(ADEM\) là hình thang vuông.

c) Gọi \(\left\{ H \right\} = AB \cap OM\).

Ta có: \(OA = OB = 3\,\,cm \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(AB\).

\(MA = MB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của \(AB\).

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của \(AB\) \( \Rightarrow OM \bot AB\) tại \(H\).

\( \Rightarrow MK\) là trung trực của \(AB\), mà \(M \in MK \Rightarrow MA = MB\).

Xét tam giác \(OAM\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(OH.OM = O{A^2} \Rightarrow OH = \frac{{O{A^2}}}{{OM}} = \frac{{{3^2}}}{6} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).

Xét tam giác vuông \(OAH\) có: \(\sin \angle OAH = \frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{1,5}}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle OAH = {30^0}\).

\( \Rightarrow \angle BAM = {90^0} - \angle OAH = {90^0} - {30^0} = {60^0}\).

\( \Rightarrow \Delta MAB\) đều \( \Rightarrow MA = MB = AB\) (1)

Ta lại có: \(\angle AKB = \angle BAM\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AB\)).

\( \Rightarrow \angle AKB = {60^0} \Rightarrow \Delta KAB\) đều \( \Rightarrow KA = KB = AB\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MA = MB = KA = KB\).

Vậy \(AMBK\) là hình thoi (định nghĩa) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link