Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì: \({a^n} - {b^n}\,\, \vdots \,\,a - b\,\,\left(

Câu hỏi số 513527:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì: \({a^n} - {b^n}\,\, \vdots \,\,a - b\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{N},\,\,a > b} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:513527

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

+) Với \(n = 1\), ta có: \({a^n} - {b^n} = a - b\,\, \vdots \,\,a - b\) (đúng)

+) Giả sử bài toán đúng với \(n = k > 1\), ta có: \({a^k} - {b^k}\, \vdots \,\,a - b\)

Ta có: \({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} - a.{b^k} + a.{b^k} - {b^{k + 1}} = a.\left( {{a^k} - {b^k}} \right) + {b^k}\left( {a - b} \right)\)

Mà \({a^k} - {b^k}\, \vdots \,\,a - b\) nên \(a.\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\,\, \vdots \,\,a - b\).

\( \Rightarrow a.\left( {{a^k} - {b^k}} \right) + {b^k}\left( {a - b} \right)\,\, \vdots \,\,a - b\)

\( \Rightarrow {a^{k + 1}} - {b^{k + 1}}\,\, \vdots \,\,a - b\)

\( \Rightarrow \) Bài toán đúng với \(n = k + 1\).

Vậy với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì: \({a^n} - {b^n}\,\, \vdots \,\,a - b\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{N},\,\,a > b} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link