Cho tam giác \(ABC\) \(\left( {AB > BC > AC} \right)\) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn

Câu hỏi số 514106:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) \(\left( {AB > BC > AC} \right)\) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Vẽ đường tròn tâm \(C\), bán kính \(CB\) cắt đường thẳng \(AB\) tại điểm \(D\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E\).

a) Chứng minh đường thẳng \(DE\) vuông góc với đường thẳng \(AC\).

b) Đường thẳng \(DE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F\). Các đường thẳng \(CO,AB\) cắt nhau tại \(H\) và các đường thẳng \(BE,CF\) cắt nhau tại \(K\). Chứng minh \(\angle CKH = \angle CBH\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(CE\). Chứng minh \(IA.IB = ID.IH\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:514106

Phương pháp giải

a) Vận dụng tính chất của tam giác cân, suy ra \(\angle CED = \angle CDE\), \(\angle CBD = \angle CDB\) từ đó suy ra \(\angle CEA = \angle CDB\)

Chứng minh \(AC\) là trung trực của \(ED\), suy ra \(AC \bot ED\).

b) Vận dụng tính chất góc – đường tròn, tính chất của đường trung trực của đoạn thẳng.

c) Chứng minh \(\Delta IEA \sim \Delta IBC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow IE.IC = IA.IB\,\,\,\left( 1 \right)\); \(\Delta IED \sim \Delta IHC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow IE.IC = IH.ID\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(IA.IB = ID.IH\,\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Giải chi tiết

a) Tam giác \(CED\) có \(CE = CD\) suy ra tam giác \(CED\) cân tại \(C\).

Suy ra \(\angle CED = \angle CDE\) (tính chất tam giác cân)

Trong \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle AEC = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

Tam giác \(CBD\) có \(CB = CD\) suy ra tam giác \(CBD\) cân tại \(C\)

Suy ra \(\angle CBD = \angle CDB\) (tính chất tam giác cân)

Suy ra \(\angle CEA = \angle CDB\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\angle CED = \angle CEA + \angle AED\\\angle CDE = \angle CDB + \angle ADE\end{array} \right.\)

Suy ra \(\angle ADE = \angle AED\). Suy ra tam giác \(ADE\) cân tại \(A\).

Suy ra \(AE = AD\) lại có \(CE = CD\) nên suy ra \(AC\) là trung trực của \(ED\).

Suy ra \(AC \bot ED\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CE = CB\\OE = OB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow OC\) là đường trung trực của \(BE\)\( \Rightarrow CO \bot BE\) hay \(CH \bot BE\).

Ta có \(\angle FCA = \angle FBA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FA\))

\(\angle AED = \angle FBD\) (tính chất góc ngoài của tứ giác nội tiếp \(BCEF\)).

Có \(\angle AED = \angle ADE\,\,\left( {cmt} \right)\). Mà \(\angle AED = \angle FBD\) (cmt) nên \(\angle ADE = \angle FBD\) hay \(\angle FDB = \angle FBD\).

\( \Rightarrow \Delta FDB\) cân tại \(F\) \( \Rightarrow F\) thuộc đường trung trực của \(DB\).

Mà \(C\) thuộc đường trung trực của \(DB\) (Do C là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EDB\) nên \(CB = CD\))

\( \Rightarrow FC\) là đường trung trực của \(DB\)\( \Rightarrow FC \bot DB\) hay \(BH \bot CK\)

Mặt khác \(CH \bot BE \Rightarrow CH \bot BK\) (cmt).

\( \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác \(BCK\).

\( \Rightarrow KH \bot BC \Rightarrow \angle HKC + \angle KCB = {90^0}\)

Lại có: \(BH \bot CK \Rightarrow \angle CBH + \angle BCK = {90^0}\)

Vậy \(\angle HKC = \angle CBH\) hay \(\angle CKH = \angle CBH\) (đpcm)

c) Xét \(\Delta IEA\) và \(\Delta IBC\) có:

\(\angle EIA = \angle BIC\) (đối đỉnh)

\(\angle AEI = \angle CBI\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\( \Rightarrow \Delta IEA \sim \Delta IBC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{IE}}{{IB}} = \frac{{IA}}{{IC}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow IE.IC = IA.IB\) (1)

Ta có: \(\angle CBH = \angle CDH\,\,\left( {cmt} \right)\), \(\angle CBH = \angle CEH\) (theo tính chất đối xứng) nên \(\angle CEH = \angle CDH\).

\( \Rightarrow CDEH\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle IED = \angle IHC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\)).

Xét \(\Delta IED\) và \(\Delta IHC\) có: \(\angle IED = \angle IHC\,\,\left( {cmt} \right)\), \(\angle EID = \angle HIC\) (đối đỉnh).

\( \Rightarrow \Delta IED \sim \Delta IHC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IH}}{{IC}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow IE.IC = IH.ID\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(IA.IB = ID.IH\,\,\,\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link