Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên SA = 2a. Hình chiếu

Câu hỏi số 514312:

Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của H của đoạn thẳng AO. Gọi \(\alpha \) là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\tan \alpha = \sqrt 5 .\)

B. \(\tan \alpha = 1.\)

C. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

D. \(\tan \alpha = \sqrt 3 .\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là HD.

Do đó \(\widehat {\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD,HD} \right)} = \widehat {SDH}.\)

● Tính được

\(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\dfrac{{AC}}{4}} \right)}^2}} = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\dfrac{{4a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 .\)

● Trong tam giác ADH, có

\(DH = \sqrt {A{H^2} + A{D^2} - 2AH.AD.\cos {{45}^0}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{4\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + 16{a^2} - 2\dfrac{{4\sqrt 2 }}{4}.4a.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} = a\sqrt {10} .\)Tam giác vuông \(SHD\), có \(\tan \widehat {SDH} = \dfrac{{SH}}{{HD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt {10} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:514312

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.