Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Kẻ tiếp tuyến \(Ax\), lấy điểm \(P\)

Câu hỏi số 517248:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Kẻ tiếp tuyến \(Ax\), lấy điểm \(P\) trên \(Ax\,\,\,\left( {AP > R} \right)\). Từ \(P\) kẻ tiếp tuyến \(PM\) của \(\left( {O;R} \right)\) (\(M\) là tiếp điểm).

a) Chứng minh: bốn điểm \(A,P,M,O\)cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: \(BM\)//\(OP\).

c) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(O\) cắt tia \(BM\) tại \(N\). Chứng minh: tứ giác \(OBNP\) là hình bình hành.

d) Giả sử \(AN\) cắt \(OP\) tại \(K;\,\,PM\) cắt \(ON\) tại \(I;\,\,PN\) cắt \(OM\) tại \(J\). Chứng minh: \(I,J,K\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517248

Phương pháp giải

a) \(A,O,P\) thuộc đường tròn đường kính \(OP\,\,\,\left( 1 \right)\)

b) Chứng minh tương tự: \(M,P,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OP\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có: 4 điểm \(A,P,M,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OP\).

c) Chứng minh \(OP \bot AM\) và \(BM \bot AM\) từ đó, suy ra \(OP\)//\(BM\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có một cặp cạnh song song và bằng nhau là hình bình hành.

d) Chứng minh \(I\) là trực tâm của \(\Delta OPJ \Rightarrow JI\)//\(OP\,\,\,\left( 5 \right)\)

Chứng minh \(PAON\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow K\) là trung điểm của \(OP\)

\(\widehat {APO} = \widehat {OPI} = \widehat {IOP} \Rightarrow \Delta IPO\) cân tại \(I \Rightarrow IK \bot OP\,\,\,\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right),\left( 6 \right)\) suy ra \(I,J,K\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Vì \(AP\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(PA \bot AO\)

\( \Rightarrow \Delta AOP\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow \Delta AOP\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OP\)

\( \Rightarrow A,O,P\) thuộc đường tròn đường kính \(OP\,\,\,\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự: \(M,P,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OP\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có: 4 điểm \(A,P,M,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OP\).

b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

* \(PA,PM\) là các tiếp tuyến cắt nhau tại \(P\)

\( \Rightarrow PA = PM\) và \(PO\) là tia phân giác của \(\angle PAM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta PAM\) cân tại \(P\) có \(PO\) là đường cao \( \Rightarrow OP \bot AM\,\,\,\left( 3 \right)\)

* \(\Delta AMB\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và \(AB\) là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AMB\) cân tại \(M\) hay \(BM \bot AM\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) suy ra \(OP\)//\(BM\) (quan hệ từ vuông góc đến song song).

c) Từ b) \( \Rightarrow \angle AOP = \angle NBO\) (hai góc đồng vị)

Xét \(\Delta AOP\) và \(\Delta OBN\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AOP = \angle NBO\\OA = OB = R\\\angle PAO = \angle NOB = {90^0}\end{array} \right\}\Delta AOP = \Delta OBN\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow OP = BN\) (hai cạnh tương ứng)

Vì \(OP = BN\) và //\(BN \Rightarrow OPBN\) là hình bình hành.

d) Vì \(OPBN\) là hình bình hành (cmt) \( \Rightarrow PJ\)//\(AB\) mà \(AP \bot AB\) nên \(PJ\)//\(AB\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Theo giả thiết, \(ON \bot AB\) mà \(PJ\)//\(AB\) (cmt) nên \(ON \bot PJ\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Tam giác \(OPJ\) có \(ON \bot PJ\) và \(PM \bot OJ\) nên \(I\) là trực tâm của \(\Delta OPJ \Rightarrow IJ \bot OP\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\)

Ta có: \(\angle PAO = \angle APJ = \angle AON = {90^0}\) nên tứ giác \(PAON\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

Mà \(K\) là giao điểm của \(AN\) và \(PO\) nên \(K\) là trung điểm của \(OP\).

Ta có: \(AP\)//\(ON\) (vì cùng vuông góc với \(AB\))\( \Rightarrow \angle APO = \angle PON\) (hai góc ở vị trí so le trong)

Mà \(\angle APO = \angle MPO\) (cmt)

Suy ra \(\angle MPO = \angle NOP = \angle PAO\) hay \(\angle IPO = \angle IOP\)

Tam giác \(IPO\) có: \(\angle IPO = \angle IOP\) nên \(\Delta IPO\) cân tại \(I\)\(I \Rightarrow IK \bot OP\,\,\,\left( 6 \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link