Cho tam giác \(\Delta ABC\) có ba đường phân giác \(AD\), \(BE\), \(CF\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh

Câu hỏi số 517302:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(\Delta ABC\) có ba đường phân giác \(AD\), \(BE\), \(CF\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng:

\(\frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}} + \frac{{B{I^2}}}{{BA.BC}} + \frac{{C{I^2}}}{{CA.CB}} = 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517302

Phương pháp giải

+ Vẽ thêm đường phụ và gọi tên các điểm:

Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là điểm đối xứng của \(I\) qua \(AB\), \(AC\), \(BC\).

Gọi \(H\), \(K\), \(J\) lần lượt là giao điểm của \(IM\) với \(AB\), \(IN\) vơi \(AC\), \(IP\) với \(BC\).

Kẻ \(ID \bot AM\)\(\left( {D \in AM} \right)\) và \(BE \bot AC\)\(\left( {E \in AC} \right)\)

+ Chứng minh \(\frac{{{S_{AMI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AI.AM}}{{AB.AC}}\).

+ Chứng minh \({S_{AHI}} = {S_{AKI}} \Rightarrow {S_{AHIK}} = 2{S_{AHI}}\). Từ đó suy ra \({S_{AHIK}} = {S_{AMI}}\). Suy ra \(\frac{{{S_{AHIK}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}}\).

+ Chứng minh tương tự có: \(\frac{{{S_{BJIH}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{B{I^2}}}{{BA.BC}}\) và \(\frac{{{S_{CKIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{C{I^2}}}{{CB.CA}}\). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là điểm đối xứng của \(I\) qua \(AB\), \(AC\), \(BC\).

Gọi \(H\), \(K\), \(J\) lần lượt là giao điểm của \(IM\) với \(AB\), \(IN\) vơi \(AC\), \(IP\) với \(BC\).

Kẻ \(ID \bot AM\)\(\left( {D \in AM} \right)\) và \(BE \bot AC\)\(\left( {E \in AC} \right)\)

Xét \(\Delta ADI\) vuông tại \(D\) có:

\(\sin IAD = \frac{{ID}}{{AI}}\)

Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(E\) có:

\(\sin BAE = \frac{{BE}}{{AB}}\)

Ta có:\(M\) đối xứng với \(I\) qua \(AB\) (gt)

và \(IM\) cắt \(AB\) tại \(H\)(gt)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(IM\) và \(AB \bot IM\) tại \(H\)

Ta có:\(N\) đối xứng với \(I\) qua \(AC\) (gt)

và \(IN\) cắt \(AB\) tại \(K\)(gt)

\( \Rightarrow K\) là trung điểm của \(IN\) và \(AC \bot IN\) tại \(K\)

Xét \(\Delta AMI\) có:

\(AH\) là đường cao của \(\Delta AMI\) (vì \(AB \bot IM\) tại \(H\))

\(AH\) là đường trung tuyến của \(\Delta AMI\) (vì \(H\) là trung điểm của \(IM\))

\( \Rightarrow \Delta AMI\) cân tại \(A\) (vì tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

\( \Rightarrow AH\) là đường phân giác của \(\Delta AMI\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle MAH = \angle IAH\)

Mà \(\angle IAH = \angle IAK\)(chứng minh trên)

\( \Rightarrow \angle MAH = \angle IAH = \angle IAK\)

\( \Rightarrow \angle MAH + \angle IAH = \angle IAH + \angle IAK\)

Hay \(\angle IAD = \angle BAE\)

\( \Rightarrow \sin IAD = \sin BAE\)

\( \Rightarrow \frac{{ID}}{{AI}} = \frac{{BE}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{ID}}{{BE}} = \frac{{AI}}{{AB}}\)

Ta có: \({S_{AMI}} = \frac{1}{2}.ID.AM\)

và \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BE.AC\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{AMI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.ID.AM}}{{\frac{1}{2}.BE.AC}} = \frac{{ID}}{{BE}}.\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AB}}.\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AI.AM}}{{AB.AC}}\)(vì \(\frac{{ID}}{{BE}} = \frac{{AI}}{{AB}}\))

mà \(AI = AM\) (vì \(\Delta AMI\)cân tại \(A\))

\( \Rightarrow \frac{{{S_{AMI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}}\)

Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta AKI\) có:

\(AI\) là cạnh chung

\(\angle AHI = \angle AKI = {90^0}\)(vì \(AB \bot IM\) và \(AC \bot IN\))

\(\angle IAH = \angle IAK\)(vì \(AI\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\))

\( \Rightarrow \Delta AHI = \Delta AKI\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\({S_{AHI}} = {S_{AKI}} \Rightarrow {S_{AHIK}} = 2{S_{AHI}}\)

mà \({S_{AMI}} = \frac{1}{2}.AH.MI = \frac{1}{2}.AH.2.HI = 2.\left( {\frac{1}{2}.AH.HI} \right) = 2{S_{AHI}}\)

do đó\({S_{AHIK}} = {S_{AMI}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{AHIK}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{AMI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}}\)

Chứng minh tương tự có: \(\frac{{{S_{BJIH}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{B{I^2}}}{{BA.BC}}\) và \(\frac{{{S_{CKIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{C{I^2}}}{{CB.CA}}\)

Ta có: \(\frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}} + \frac{{B{I^2}}}{{BA.BC}} + \frac{{C{I^2}}}{{CA.CB}} = \frac{{{S_{AHIK}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{BJIH}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{CKIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link