Cho tam giác \(\Delta ABC\) có ba đường phân giác \(AD\), \(BE\), \(CF\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh
Cho tam giác \(\Delta ABC\) có ba đường phân giác \(AD\), \(BE\), \(CF\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng:
\(\frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}} + \frac{{B{I^2}}}{{BA.BC}} + \frac{{C{I^2}}}{{CA.CB}} = 1\).
Quảng cáo
+ Vẽ thêm đường phụ và gọi tên các điểm:
Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là điểm đối xứng của \(I\) qua \(AB\), \(AC\), \(BC\).
Gọi \(H\), \(K\), \(J\) lần lượt là giao điểm của \(IM\) với \(AB\), \(IN\) vơi \(AC\), \(IP\) với \(BC\).
Kẻ \(ID \bot AM\)\(\left( {D \in AM} \right)\) và \(BE \bot AC\)\(\left( {E \in AC} \right)\)
+ Chứng minh \(\frac{{{S_{AMI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AI.AM}}{{AB.AC}}\).
+ Chứng minh \({S_{AHI}} = {S_{AKI}} \Rightarrow {S_{AHIK}} = 2{S_{AHI}}\). Từ đó suy ra \({S_{AHIK}} = {S_{AMI}}\). Suy ra \(\frac{{{S_{AHIK}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}}\).
+ Chứng minh tương tự có: \(\frac{{{S_{BJIH}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{B{I^2}}}{{BA.BC}}\) và \(\frac{{{S_{CKIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{C{I^2}}}{{CB.CA}}\). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là điểm đối xứng của \(I\) qua \(AB\), \(AC\), \(BC\).
Gọi \(H\), \(K\), \(J\) lần lượt là giao điểm của \(IM\) với \(AB\), \(IN\) vơi \(AC\), \(IP\) với \(BC\).
Kẻ \(ID \bot AM\)\(\left( {D \in AM} \right)\) và \(BE \bot AC\)\(\left( {E \in AC} \right)\)
Xét \(\Delta ADI\) vuông tại \(D\) có:
\(\sin IAD = \frac{{ID}}{{AI}}\)
Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(E\) có:
\(\sin BAE = \frac{{BE}}{{AB}}\)
Ta có:\(M\) đối xứng với \(I\) qua \(AB\) (gt)
và \(IM\) cắt \(AB\) tại \(H\)(gt)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(IM\) và \(AB \bot IM\) tại \(H\)
Ta có:\(N\) đối xứng với \(I\) qua \(AC\) (gt)
và \(IN\) cắt \(AB\) tại \(K\)(gt)
\( \Rightarrow K\) là trung điểm của \(IN\) và \(AC \bot IN\) tại \(K\)
Xét \(\Delta AMI\) có:
\(AH\) là đường cao của \(\Delta AMI\) (vì \(AB \bot IM\) tại \(H\))
\(AH\) là đường trung tuyến của \(\Delta AMI\) (vì \(H\) là trung điểm của \(IM\))
\( \Rightarrow \Delta AMI\) cân tại \(A\) (vì tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến)
\( \Rightarrow AH\) là đường phân giác của \(\Delta AMI\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle MAH = \angle IAH\)
Mà \(\angle IAH = \angle IAK\)(chứng minh trên)
\( \Rightarrow \angle MAH = \angle IAH = \angle IAK\)
\( \Rightarrow \angle MAH + \angle IAH = \angle IAH + \angle IAK\)
Hay \(\angle IAD = \angle BAE\)
\( \Rightarrow \sin IAD = \sin BAE\)
\( \Rightarrow \frac{{ID}}{{AI}} = \frac{{BE}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{ID}}{{BE}} = \frac{{AI}}{{AB}}\)
Ta có: \({S_{AMI}} = \frac{1}{2}.ID.AM\)
và \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BE.AC\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{AMI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.ID.AM}}{{\frac{1}{2}.BE.AC}} = \frac{{ID}}{{BE}}.\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AB}}.\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AI.AM}}{{AB.AC}}\)(vì \(\frac{{ID}}{{BE}} = \frac{{AI}}{{AB}}\))
mà \(AI = AM\) (vì \(\Delta AMI\)cân tại \(A\))
\( \Rightarrow \frac{{{S_{AMI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}}\)
Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta AKI\) có:
\(AI\) là cạnh chung
\(\angle AHI = \angle AKI = {90^0}\)(vì \(AB \bot IM\) và \(AC \bot IN\))
\(\angle IAH = \angle IAK\)(vì \(AI\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\))
\( \Rightarrow \Delta AHI = \Delta AKI\) (cạnh huyền – góc nhọn)
\({S_{AHI}} = {S_{AKI}} \Rightarrow {S_{AHIK}} = 2{S_{AHI}}\)
mà \({S_{AMI}} = \frac{1}{2}.AH.MI = \frac{1}{2}.AH.2.HI = 2.\left( {\frac{1}{2}.AH.HI} \right) = 2{S_{AHI}}\)
do đó\({S_{AHIK}} = {S_{AMI}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{AHIK}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{AMI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}}\)
Chứng minh tương tự có: \(\frac{{{S_{BJIH}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{B{I^2}}}{{BA.BC}}\) và \(\frac{{{S_{CKIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{C{I^2}}}{{CB.CA}}\)
Ta có: \(\frac{{A{I^2}}}{{AB.AC}} + \frac{{B{I^2}}}{{BA.BC}} + \frac{{C{I^2}}}{{CA.CB}} = \frac{{{S_{AHIK}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{BJIH}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{CKIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
