Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\,\,\left( {AB = 2R} \right)\). Trên nửa mặt

Câu hỏi số 517310:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\,\,\left( {AB = 2R} \right)\). Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến \(Ax,By\) của nửa đường tròn. Lấy điểm \(C\) bất kì thuộc nửa đường tròn (\(C\) khác \(A\) và \(B\)), qua \(C\) kẻ tiếp tuyến của nửa đường tròn cắt \(Ax,By\) thứ tự tại \(M\) và \(N\).

a) Chứng minh bốn điểm \(A,M,C,O\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Nối điểm \(O\) với điểm \(M\), điểm \(O\) với điểm \(N\). Chứng minh \(AM.BN = {R^2}\).

c) Đoạn \(ON\) cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(I\). Chứng minh \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta CNB\).

d) Cho \(AB = 6cm\). Xác định vị trí của \(M\) và \(N\) để hình thang \(AMNB\) có chu vi bằng \(18cm\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517310

Phương pháp giải

a) Chứng minh ba điểm \(O,A,M\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\,\,\,\left( 1 \right)\) và ba điểm \(O,C,M\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra bốn điểm \(A,M,C,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

b) Vân dụng kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

c) Gọi giao điểm của \(CB\) và \(ON\) là \(H\)

Chứng minh \(NH\) là tia phân giác của \(\widehat {CNB}\) và \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {NCB}\)

Tam giác \(CNB\) có hai đường phân giác \(NH\) và \(CI\) cắt nhau tại \(I\)

Suy ra \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(CNB\) (đpcm).

d) Tính chu vi hình thang \(AMNB\)

Đặt \(MA = a,NB = b\,\,\,\left( {a > 0,b > 0} \right)\)

Tính độ dài các đoạn thẳng \(AB,OA,OB,R\)

Thay vào để công thức chu vi của hình thang \(AMNB\), biện luận.

Giải chi tiết

a) Chứng minh bốn điểm \(A,M,C,O\) cùng thuộc một đường tròn.

* \(MA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) (gt)

\( \Rightarrow MA \bot OA\) (tính chất tiếp tuyến)

\( \Rightarrow \widehat {OAM} = {90^0} \Rightarrow \Delta OAM\) vuông tại \(A\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow \) Ba điểm \(O,A,M\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\,\,\,\left( 1 \right)\)

* \(MC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) (gt)

\( \Rightarrow MC \bot OC\) (tính chất tiếp tuyến)

\( \Rightarrow \widehat {OCM} = {90^0} \Rightarrow \Delta OCM\) vuông tại \(C\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow \) Ba điểm \(O,C,M\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra bốn điểm \(A,M,C,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

b) Nối điểm \(O\) với điểm \(M\), điểm \(O\) với điểm \(N\). Chứng minh \(AM.BN = {R^2}\).

\(MA,MC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(A,C\) (gt)

\( \Rightarrow MA = MC\,\,\,\left( 3 \right)\) và \(OM\) là tia phân giác của \(\widehat {AOC}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh tương tự có \(NC = NB\,\,\,\left( 4 \right)\) và \(ON\) là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\)

Mà \(\widehat {AOC}\) và \(\widehat {BOC}\) là hai góc kề bù \( \Rightarrow OM \bot ON \Rightarrow \Delta OMN\) vuông tại \(O\)

\(MC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) (gt)

\( \Rightarrow MC \bot OC\) (tính chất tiếp tuyến) \( \Rightarrow OC \bot MN\)

\( \Rightarrow OM\) là đường cao của \(\Delta OMN\)

Tam giác \(OMN\) vuông tại \(O\), có \(OM\) là đường cao \( \Rightarrow O{C^2} = MC.NC\,\,\,\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right),\left( 5 \right)\) suy ra \(O{C^2} = AM.BN\)

Mà \(OC = R\) suy ra \(AM.BN = {R^2}\).

c) Đoạn \(ON\) cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(I\). Chứng minh \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta CNB\).

Gọi giao điểm của \(CB\) và \(ON\) là \(H\)

\(NC,NB\) là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(C,B\) (gt)

\( \Rightarrow NO\) là tia phân giác của \(\widehat {CNB}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )

\( \Rightarrow NH\) là tia phân giác của \(\widehat {CNB}\)

Nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có \(OC = OI\) (cùng là bán kính )

\( \Rightarrow \) tam giác \(OCI\) cân tại \(O\) (định nghĩa) \( \Rightarrow \widehat {OCI} = \widehat {OIC}\) (tính chất tam giác cân) \(\left( 6 \right)\)

Có \(OC \bot MN\) (cmt) \( \Rightarrow \widehat {OCN} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {OCN} = \widehat {OCI} + \widehat {NCI} \Rightarrow \widehat {OCI} + \widehat {NCI} = {90^0}\,\,\,\left( 7 \right)\)

Mặt khác \(NC = NB\) (chứng minh trên ) \( \Rightarrow \) tam giác \(NCB\) cân tại \(N\) (định nghĩa)

Mà \(NH\) là tia phân giác của \(\widehat {CNB}\) (chứng minh trên)

Suy ra NH là đường cao ứng với cạnh \(CB\) (tính chất tam giác cân) \( \Rightarrow NH \bot CB\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta HIC\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow \widehat {HIC} + \widehat {ICH} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OIC} + \widehat {ICH} = {90^0}\,\,\,\left( 8 \right)\)

Từ \(\left( 6 \right),\left( 7 \right),\left( 8 \right) \Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {NCI}\)

Mà tia \(CI\) nằm giữa hai tia \(CN\) và \(CH \Rightarrow CI\) là tia phân giác của \(\widehat {NCB}\)

Tam giác \(CNB\) có hai đường phân giác \(NH\) và \(CI\) cắt nhau tại \(I\)

Suy ra \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(CNB\) (đpcm).

d) Cho \(AB = 6cm\). Xác định vị trí của \(M\) và \(N\) để hình thang \(AMNB\) có chu vi bằng \(18cm\).

\(Ax,By\) là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(B\) (gt)

\( \Rightarrow Ax \bot AB\) và \(By \bot AB\) (tính chất tiếp tuyến)

\( \Rightarrow Ax\)//\(By\) (từ vuông góc đến song song) \( \Rightarrow AM\)//\(BN\)

Tứ giác \(AMNB\) có \(AM\)//\(BN\) \( \Rightarrow AMNB\) là hình thang (định nghĩa)

Chu vi hình thang \(AMNB\) bằng

\(AM + MN + NB + AB = AM + MC + NC + NB + AB = AM + AM + NB + NB + AB = AB + 2\left( {MA + NB} \right)\)

Đặt \(MA = a,NB = b\,\,\,\left( {a > 0,b > 0} \right) \Rightarrow 6 + 2\left( {a + b} \right) = 18 \Leftrightarrow a + b = 6\,\,\,\left( 9 \right)\)

Nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB = 6cm \Rightarrow OA = OB = 3cm \Rightarrow R = 3cm\)

Mà \(AM.BN = {R^2} \Rightarrow AM.BN = 9 \Leftrightarrow ab = 9\,\,\,\left( {10} \right)\)

Từ (9) và (10) . Suy ra \(b = 3\)

Vậy điểm \(M\) nằm trên tia \(Ax\), điểm \(M\) cách điểm \(A\) một khoảng là 3 cm

Điểm \(N\) nằm trên tia \(By\), điểm \(N\) cách điểm \(B\) một khoảng là 3 cm

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link