Cho \(a \ge 1\,;\,\,b \ge 9\,,\,\,c \ge 16\) và \(a.b.c = 1152\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P

Câu hỏi số 517311:

Vận dụng cao

Cho \(a \ge 1\,;\,\,b \ge 9\,,\,\,c \ge 16\) và \(a.b.c = 1152\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \).

A. \({P_{\max }} = 912\) khi \(a = 18\,;\,\,b = 2\,;\,\,c = 32\)

B. \({P_{\max }} = 912\) khi \(a = 2\,;\,\,b = 18\,;\,\,c = 32\)

C. \({P_{\max }} = 912\) khi \(a = 18\,;\,\,b = 32\,;\,\,c = 2\)

D. \({P_{\max }} = 912\) khi \(a = 32\,;\,\,b = 18\,;\,\,c = 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517311

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(1.\sqrt {a - 1} \le \frac{{1 + a - 1}}{2} \Rightarrow bc\sqrt {a - 1} \le bc.\frac{{1 + a - 1}}{2} = \frac{{abc}}{2}\)

Chứng minh tương tự vói các hạng tử còn lại, sau đó cộng vế với vế xác định được giá trị lớn nhất của \(P\).

Giải chi tiết

Với \(a \ge 1\,;\,\,b \ge 9\,;\,\,c \ge 16\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(1.\sqrt {a - 1} \le \frac{{1 + a - 1}}{2} \Rightarrow bc\sqrt {a - 1} \le bc.\frac{{1 + a - 1}}{2} = \frac{{abc}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ca\sqrt {b - 9} \le ca.\frac{1}{3}.\frac{{9 + b - 9}}{2} = \frac{{abc}}{6}\\ab\sqrt {c - 16} \le ab.\frac{1}{4}.\frac{{16 + c - 16}}{2} = \frac{{abc}}{8}\end{array} \right.\)

Suy ra \(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \le \frac{{abc}}{2} + \frac{{abc}}{6} + \frac{{abc}}{8} = \frac{{19abc}}{{24}} = \frac{{19.1152}}{{24}} = 912\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = 2\,;\,\,b = 18\,;\,\,c = 32\)

Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(912\) khi \(a = 2\,;\,\,b = 18\,;\,\,c = 32\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link