Cho \(a \ge 1\,;\,\,b \ge 9\,,\,\,c \ge 16\) và \(a.b.c = 1152\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \).

Câu 517311: Cho \(a \ge 1\,;\,\,b \ge 9\,,\,\,c \ge 16\) và \(a.b.c = 1152\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \).

A. \({P_{\max }} = 912\) khi \(a = 18\,;\,\,b = 2\,;\,\,c = 32\)

B. \({P_{\max }} = 912\) khi \(a = 2\,;\,\,b = 18\,;\,\,c = 32\)

C. \({P_{\max }} = 912\) khi \(a = 18\,;\,\,b = 32\,;\,\,c = 2\)

D. \({P_{\max }} = 912\) khi \(a = 32\,;\,\,b = 18\,;\,\,c = 2\)

Câu hỏi : 517311

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(1.\sqrt {a - 1} \le \frac{{1 + a - 1}}{2} \Rightarrow bc\sqrt {a - 1} \le bc.\frac{{1 + a - 1}}{2} = \frac{{abc}}{2}\)

Chứng minh tương tự vói các hạng tử còn lại, sau đó cộng vế với vế xác định được giá trị lớn nhất của \(P\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Với \(a \ge 1\,;\,\,b \ge 9\,;\,\,c \ge 16\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(1.\sqrt {a - 1} \le \frac{{1 + a - 1}}{2} \Rightarrow bc\sqrt {a - 1} \le bc.\frac{{1 + a - 1}}{2} = \frac{{abc}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ca\sqrt {b - 9} \le ca.\frac{1}{3}.\frac{{9 + b - 9}}{2} = \frac{{abc}}{6}\\ab\sqrt {c - 16} \le ab.\frac{1}{4}.\frac{{16 + c - 16}}{2} = \frac{{abc}}{8}\end{array} \right.\)

Suy ra \(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \le \frac{{abc}}{2} + \frac{{abc}}{6} + \frac{{abc}}{8} = \frac{{19abc}}{{24}} = \frac{{19.1152}}{{24}} = 912\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = 2\,;\,\,b = 18\,;\,\,c = 32\)

Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(912\) khi \(a = 2\,;\,\,b = 18\,;\,\,c = 32\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây