Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và

Câu hỏi số 517927:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Điểm \(M\) là trung điểm của \(CD.\) Khoảng cách giữa \(2\) đường thẳng \(SM\) và \(BD\) bằng

A. \(\dfrac{{a\sqrt {30} }}{{20}}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {33} }}{{11}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517927

Phương pháp giải

\(d\left( {SM,BD} \right) = d\left( {BD,\left( {SMN} \right)} \right)\) với \(N\) là trung điểm của \(BC.\)

\(d\left( {BD,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {SMN} \right)} \right)\)

Sử dụng phương pháp tỉ lệ khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Gọi \(N\) là trung điểm \(BC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BD \Rightarrow {d_{\left( {SM,BD} \right)}} = {d_{\left( {BD,\left( {SMN} \right)} \right)}} = {d_{\left( {O,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{3}{d_{\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}{d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}}.\)

Vì tam giác \(SAB\) đều có cạnh bằng \(a\) nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

\(H\) là trung điểm \(AB,\,\,N\) là trung điểm \(CD\) nên \(HN \bot MN\) và \(HN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(H\) trên \(SN.\)

Ta có: \(\dfrac{1}{{d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}^2}} = \dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{N^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} = \dfrac{{10}}{{3{a^2}}} \Rightarrow {d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{10}}.\)

Vậy \({d_{\left( {SM,BD} \right)}} = \dfrac{1}{2}{d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{20}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.