Xét các số thực dương \(x;\,y\) thỏa mãn \(4({x^2} + \,{y^2} + 4) + \,{\log _2}\left( {\dfrac{2}{x} +

Câu hỏi số 517987:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương \(x;\,y\) thỏa mãn \(4({x^2} + \,{y^2} + 4) + \,{\log _2}\left( {\dfrac{2}{x} + \,\dfrac{2}{y}} \right) = \,\,{(xy - 4)^2}\). Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất ; \(\dfrac{x}{y}\) bằng:

A. \(2\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(4\)

D. \(\dfrac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517987

Phương pháp giải

Khai thác từ giả thiết: đưa phương trình về dạng: \(f(u) = \,\,f(v)\)

Chứng minh hàm số \(y = f(x)\)là hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên tập xác định.

Từ đó suy ra: \(u = v \Rightarrow y = ...(\,\,theo\,\,\,\,x)\)

Tính \(x + 4y\) ( theo x)- khảo sát hàm số đó để đạt giá trị nhỏ nhất.

Sau khi tìm được giá trị của \(x \Rightarrow y \Rightarrow \dfrac{x}{y}\)

Giải chi tiết

\(4({x^2} + \,{y^2} + 4) + \,{\log _2}\left( {\dfrac{2}{x} + \,\dfrac{2}{y}} \right) = \,\,{(xy - 4)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} + \,4{y^2} + \,\,16 + \,{\log _2}\left( {\dfrac{{2x + \,2y}}{{xy}}} \right) = \,\,{(xy)^2} - 8xy + 16\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + \,4{y^2} - {(xy)^2} + 8xy + {\log _2}(2x + 2y) - {\log _2}xy = 0\\ \Leftrightarrow {(2x + 2y)^2} + {\log _2}(2x + 2y) = \,\,{(xy)^2} + \,{\log _2}xy\,\,(*)\end{array}\)

Xét hàm số \(y = \,f(x) = {x^2} + \,{\log _2}x\,\,\,\,(x > \,\,0);\,\,y' = \,\,2x + \,\dfrac{1}{{x\ln 2}}\, > \,\,0\,\,\forall x > \,0\)

Suy ra hàm số trên đồng biến.

Phương trình (*) trở thành: \(f(2x + 2y) = \,\,f(\,xy)\)

Vì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến nên từ trên suy ra: \(2x + 2y = \,\,xy\)

\( \Leftrightarrow 2x = \,y(x - 2) \Rightarrow y = \,\,\dfrac{{2x}}{{x - 2}}\)

Ta có: \(x + 4y = x + \,\,4.\dfrac{{2x}}{{x - 2}} = \,x + \,\dfrac{{8x}}{{x - 2}}\)

Xét hàm số

\(\begin{array}{l}h(x) = \,\,x + \,\dfrac{{8x}}{{x - 2}};h'(x) = 1 - \,\dfrac{{16}}{{{{(x - 2)}^2}}}\\h'(x) = 0\,\, \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = \,\,16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \,\,6}\\{x = \, - 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

+ Với \(x = 6\, \Rightarrow y = \,3\, \Rightarrow \dfrac{x}{y}\,\, = 2\)

+Với \(x = \, - 2\, < \,\,0\)( mâu thuẫn giả thiết nên loại).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.