. Cho hình chóp S.ABCD có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật; \(AB = \,\,a;\,SB = a;\,SB\) vuông góc

Câu hỏi số 517986:

Vận dụng cao

. Cho hình chóp S.ABCD có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật; \(AB = \,\,a;\,SB = a;\,SB\) vuông góc với

\((ABCD)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\).Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \((ACM)\) và \((SAD)\) bằng \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.BCD\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517986

Phương pháp giải

Gắn với hệ trục \({\rm{Ox}}yz\) .

Tìm tọa độ các điểm

Tìm vecto pháp tuyến của 2 mp

Suy ra:\((ACM);\,\,(SAD)\)\({\rm{cos 6}}{{\rm{0}}^0} = \,\,\left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\)

Thể tích: \({V_{S.BCD}} = \,\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\,\)

Giải chi tiết

Gắn với hệ trục \({\rm{Ox}}yz\) .

Gọi \(B(0;0;0);\,\,C(0;x;0);\,\,A(a;0;0);D(a;x;0);\,S(0;0;a);M\left( {\dfrac{a}{2};\,\,\dfrac{x}{2};\,\dfrac{a}{2}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AC} ( - a;x;0);\,\,\overrightarrow {AM} \,\,\left( {\dfrac{{ - a}}{2};\,\dfrac{x}{2};\,\dfrac{a}{2}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{(AMC)}}} = \,\left( {\dfrac{x}{2};\,\dfrac{a}{2};\,0} \right)\,\\\overrightarrow {SA} (a;0; - a);\,\,\overrightarrow {AD} (\,0;x;0);\\ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{(SAD)}}} = (x;0;x)\end{array}\)

Vì góc giữa hai mp(\((ACM);\,\,(SAD)\) bằng \({60^0}\)nên:

\(\begin{array}{l}{\rm{cos 6}}{{\rm{0}}^0} = \,\,\left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\,\, \Rightarrow \dfrac{{\left| {\dfrac{x}{2}.x + \,\,\dfrac{a}{2}.0 + \,0.x} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \,\,\dfrac{{{a^2}}}{4}} .\,\,\sqrt {{x^2} + {x^2}} }} = c{\rm{os 6}}{{\rm{0}}^0} = \,\,\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow x = a\, > 0\end{array}\)

\({V_{S.BCD}} = \,\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\,\, = \,\,\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.SB.\,BC.BD = \,\dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.