Cho nửa đường tròn tâm \(O\) với bán kính \(R\), đường kính \(AB\). Trên nửa mặt phẳng bờ là

Câu hỏi số 519339:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) với bán kính \(R\), đường kính \(AB\). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(AB\) chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến \(Ax\) tại \(A\) của nửa đường tròn. Xét điểm \(M\) thay đổi trên \(Ax\), không trùng với \(A\). Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(OM\).

a) Chứng minh rằng \(ME\) là một tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm \(O\).

b) Đoạn thẳng \(OM\) cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(I\). Chứng minh rằng \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp của \(\Delta AME\).

c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(EB\). Tia \(ME\) cắt \(ON\) tại \(P\). Hãy xác định vị trí của điểm \(M\) trên tia \(Ax\) để diện tích \(\Delta OMP\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo \(R\).

d) Gọi \(C\) là giao điểm của \(BE\) và tia \(Ax,\,\,OC\) cắt \(AE\) tại \(Q\). Kẻ đường thẳng qua \(Q\) và song song với \(Ax\), cắt \(OM\) tại \(D\). Chứng minh rằng \(A,D,P\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:519339

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta MAO = \Delta MEO\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle MAO = \angle MEO\) mà \(\angle MAB = {90^0}\) suy ra \(\angle MEO = {90^0}\)

Do đó \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

b) Chứng minh \(MI\) là phân giác của \(\angle AME\) và \(AI\) là phân giác của \(\angle MAE\) suy ra \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta AME\).

c) Chứng minh \(\Delta MOP\) vuông tại \(O\)

Tính được \({S_{\Delta OMP}} = \frac{1}{2}OE.MP\)

Vận dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm giá trị nhot nhất

d) Gọi \(F\) là giao điểm của \(QD,AB\) và \(G\) là giao điểm của \(AE,BP\)

Chứng minh \(PG = PB\) và \(MA = MC\)

Chứng minh \(D\) là trung điểm của \(QF\)

Chứng minh \(\angle DAF = \angle PAB\)\( \Rightarrow A,D,P\) thẳng hàng

Giải chi tiết

a) Do \(E\) đối xứng với \(A\) qua \(OM\) nên \(MA = ME\,;\,\,OA = OE\)

Xét \(\Delta MAO\) và \(\Delta MEO\) có:

\(\left. \begin{array}{l}MA = ME\left( {cmt} \right)\\OA = OE\left( {cmt} \right)\\MO\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MAO = \Delta MEO\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle MAO = \angle MEO\) (1) (hai góc tương ứng)

\(Ax\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow Ax \bot AB \Rightarrow \angle MAB = {90^0}\) hay \(\angle MAO = {90^0}\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle MEO = {90^0}\) mà \(E \in \left( O \right)\)

Do đó \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

b) \(AM,EM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow MI\) là phân giác của \(\angle AME\) (3) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: \(A,E\) đối xứng với nhau qua \(OM \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn \(AE\)

Mà \(I \in OM \Rightarrow IA = IE\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Lại có: \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle MAI = \angle IEA = \angle IAE\)

\( \Rightarrow AI\) là phân giác của \(\angle MAE\) (4)

Từ (3) và (4), suy ra \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta AME\).

c) Ta có: \(OE = OB\) (bán kính đường tròn \(\left( O \right)\))\( \Rightarrow \Delta OBE\) cân tại \(O\)

mà \(N\) là trung điểm của \(BE \Rightarrow ON \bot BE \Rightarrow OP \bot BE\) (vì \(O,N,P\) thẳng hàng)

Ta có: \(E \in \left( O \right) \Rightarrow \angle AEB = {90^0} \Rightarrow AE \bot EB\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot OP\\BE \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow OP//AE\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\(MO\) là đường trung trực của đoạn \(AE \Rightarrow MO \bot AE\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP//AE\\MO \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow MO \bot OP\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \angle MOP = {90^0}\) nên \(\Delta MOP\) vuông tại \(O\)

\(\Delta MOP\) vuông tại \(O\) có \(OE \bot MP\) (do \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow MP.EP = O{E^2} = {R^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OMP}} = \frac{1}{2}OE.MP = \frac{1}{2}R.\left( {ME + EP} \right) \ge \frac{1}{2}R.2\sqrt {ME.EP} = \frac{1}{2}R.2R = {R^2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(ME = EP = R \Rightarrow \Delta MEO\) vuông cân tại \(E \Rightarrow OM = R\sqrt 2 = OA\sqrt 2 \Rightarrow MA = R\)

d) Gọi \(F\) là giao điểm của \(QD,AB\)

\(G\) là giao điểm của \(AE,BP\)

Ta có: \(OP//AE\left( { \bot BE} \right),O\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow OP\) là đường trung bình của tam giác \(ABG\)

\( \Rightarrow P\) là trung điềm của \(BG\)

\( \Rightarrow PG = PB\)

Ta có: \(C\) là giao điểm của \(BE,AM\)

Chứng minh tương tự, ta có được \(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow MA = MC\)

Lại có: \(QF//AC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{QD}}{{MC}} = \frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{DF}}{{MA}}\\ \Rightarrow QD = DF\end{array}\)

\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(QF\)

Ta có: \(QF//BG\left( { \bot AB} \right)\)

\(\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{QF}}{{GB}} = \frac{{2DF}}{{2BP}} = \frac{{DF}}{{BF}}\)

Lại có: \(\angle AFD = \angle ABP\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow A,D,P\) thẳng hàng

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link