Cho ba điểm \(A,B,C\) cố định sao cho \(A,B,C\) thẳng hàng, \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Gọi

Câu hỏi số 521407:

Vận dụng

Cho ba điểm \(A,B,C\) cố định sao cho \(A,B,C\) thẳng hàng, \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Gọi \(\left( d \right)\) là đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc với \(AB\). Lấy điểm \(M\) tùy ý trên \(\left( d \right)\). Đường thẳng đi qua \(B\) và vuông góc với \(AM\) cắt các đường thẳng \(AM,\,\,\left( d \right)\) lần lượt tại \(I,N\). Đường thẳng \(MB\) cắt \(AN\) tại \(K\).

a) Chứng minh rằng: tứ giác \(MIKN\)nội tiếp

b) Chứng minh \(CM.CN = AC.BC\)

c) Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\). Vẽ hình bình hành \(MBNE\). Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn \(BE\). Chứng minh rằng \(OH\) vuông góc với đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(OH = \dfrac{1}{2}AB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521407

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(MIKN\) có \(\angle MIN = \angle MKN = {90^0}\) cùng nhìn cạnh \(MN\) nên \(MIKN\) là tứ giác nội tiếp (dhnh tứ giác nội tiếp)

b) Chứng minh \(\Delta MBC \sim \Delta ANC\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

c) Chứng minh tam giác \(OMN\) cân tại \(O\), suy ra được \(OH \bot \left( d \right)\)

Gọi \(Q\) là giao điểm giữa \(MO\) với đường tròn \(\left( O \right)\) \(\left( {Q \ne M} \right)\), chứng minh \(OH\) là đường trung bình của tam giác \(MQN\) \( \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}QN\)\(\left( 1 \right)\)

Chứng minh \(AB = NQ\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Tam giác \(AMN\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot MN\,\,\left( {gt} \right)\\IN \bot AM\,\,\left( {gt} \right)\\AC \cap NI = \left\{ B \right\}\end{array} \right.\), suy ra \(B\) là trực tâm tam giác \(AMN\) \( \Rightarrow MK \bot AN\).

Xét tứ giác \(MIKN\) có \(\angle MIN = \angle MKN = {90^0}\)

Suy ra tứ giác \(MIKN\) nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

b) Xét tam giác \(MBC\) và tam giác \(ANC\) có:

\(\angle MCB = \angle ACN = {90^0};\)

\(\angle CMB = \angle CAN\,\,\)(cùng phụ với \(\angle ANM\)).

\( \Rightarrow \Delta MBC \sim \Delta ANC\,\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{CN}} = \dfrac{{MC}}{{AC}} \Rightarrow CM.NC = AC.BC\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Điều phải chứng minh.

c) Tứ giác \(BMEN\) là hình bình hành có \(H\) là trung điểm \(BE\) nên \(H\) đồng thời là trung điểm của \(MN\) (tính chất hình bình hành).

Ta có: \(OM = ON\) suy ra tam giác \(OMN\) cân tại \(O\).

Lại có \(H\) là trung điểm của \(MN\), suy ra \(OH \bot MN\) hay \(OH \bot \left( d \right)\) (trong tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao).

Gọi \(Q\) là giao điểm giữa \(MO\) với đường tròn \(\left( O \right)\) \(\left( {Q \ne M} \right)\) \( \Rightarrow MQ\) là đường kính của \(\left( O \right)\).

Ta có tam giác \(MQN\) có \(\left\{ \begin{array}{l}HM = HN\,\,\left( {cmt} \right)\\QO = OM\,\,\left( {cach\,\,ve} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(OH\) là đường trung bình của tam giác \(MQN\) \( \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}QN\)\(\left( 1 \right)\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Ta có: \(\angle MNQ = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow MN \bot NQ\).

Mà \(AB \bot MN\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB//NQ\) (từ vuông góc đến song song)

Chứng minh tương tự ta có \(AQ//BN\).

Suy ra tứ giác \(ABNQ\) là hình bình hành (dhnb) \( \Rightarrow AB = NQ\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) suy ra \(OH = \dfrac{1}{2}AB\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link