Cho đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R\). Vẽ hai tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) với

Câu hỏi số 521526:

Vận dụng cao

Cho đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R\). Vẽ hai tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) với đường tròn. Lấy điểm \(M\) trên đường tròn \(\left( {MA < MB} \right)\). Tiếp tuyến tại điểm \(M\) của \(\left( O \right)\) cắt \(Ax\) và \(By\) lần lượt tại \(C\) và \(D\)

a) Chứng minh rằng: \(CD = AC + BD\) và góc \(COD\) vuông

b) \(OD\) cắt \(MB\) tại điểm \(I\). Chứng minh \(OD\) vuông góc với \(MB\) và \(OD\) song song với \(MA\).

c) \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\). Chứng minh \(DI.DO = DE.DA\) và \(BE = AD.\sin \angle MIE.\cos \angle ADB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521526

Phương pháp giải

a) Vận dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau trong một đường tròn.

b) Vận dụng quan hệ từ vuông góc đến song song.

c) Chứng minh \(DI.DO = DE.DA\left( { = B{D^2}} \right)\) và \(\angle MIE = \angle ADB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính \(\cos \angle ADB\) và \(\sin \angle ADB\), từ đó có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) *Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

+ \(Ax\) và \(MC\) là tiếp tuyến và cắt nhau tại \(C\)

\( \Rightarrow AC = CM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ \(By\) và \(MD\) là tiếp tuyến và cắt nhau tại \(D\)

\( \Rightarrow DM = DB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: \(CD = CM + MD\) mà \(AC = CM;DM = BD\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow CD = AC + BD\) (đpcm)

*Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

+ \(Ax\) và \(MC\) là tiếp tuyến và cắt nhau tại \(C\)

\( \Rightarrow OC\) là phân giác của \(\angle AOM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ \(By\) và \(MD\) là tiếp tuyến và cắt nhau tại \(D\)

\( \Rightarrow OD\) là phân giác của \(\angle BOM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(\angle AOM\) và \(\angle BOM\) là hai góc kề bù \( \Rightarrow \angle COD = \dfrac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\)

b) Ta có: \(DB = DM\left( {cmt} \right)\) và \(OB = OM\left( { = R} \right)\)

\( \Rightarrow OD\) là trung trực của \(MB\)

\( \Rightarrow OD \bot MB\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác \(AMB\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có cạnh \(AB\) là đường kính

\( \Rightarrow \angle AMB = {90^0}\)

\( \Rightarrow AM \bot MB\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra \(AM//OD\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

c) Xét tam giác \(OBD\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BI\), ta có: \(B{D^2} = DI.DO\,\,\,\left( 3 \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tam giác \(ABE\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có cạnh \(AB\) là đường kinh

\( \Rightarrow \angle AEB = {90^0}\)

\( \Rightarrow AE \bot BE\) hay \(AD \bot BE\)

Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\), có đường cao \(BE\), ta có: \(B{D^2} = DE.DA\,\,\,\left( 4 \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Từ (3) và (4), suy ra \(DI.DO = DE.DA\left( { = B{D^2}} \right)\)

Ta có: \(DI.DO = DA.DE \Rightarrow \dfrac{{DO}}{{DA}} = \dfrac{{DE}}{{DI}}\)

Xét \(\Delta DEI\) và \(\Delta DOA\) có:

(hai góc tương ứng)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\angle DIE + \angle MIE = {90^0}\\\angle DAO + \angle ADB = {90^0}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\angle MIE = \angle ADB\)

Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\), ta có: \(\cos \angle ADB = \dfrac{{BD}}{{AD}}\)

Xét tam giác \(BED\) vuông tại \(E\), ta có: \(\sin \angle ADB = \dfrac{{BE}}{{BD}} = \sin \angle MIE\)

\( \Rightarrow AD.\sin \angle MIE.\cos \angle ADB = AD.\dfrac{{BE}}{{BD}}.\dfrac{{BD}}{{AD}} = BE\)

Vậy \(BE = AD.\sin \angle MIE.\cos \angle ADB\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link