Chứng minh rằng tổng \(S + 2\)với \(S = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{20}}\) không là số chính

Câu hỏi số 529669:

Vận dụng

Chứng minh rằng tổng \(S + 2\)với \(S = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{20}}\) không là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529669

Phương pháp giải

Để chứng minh một khẳng định là đúng theo phương pháp phản chứng, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Giả sử \(S + 2\) là số chính phương \( \Rightarrow S + 2 = {k^2}\).

- Bước 2: Suy luận 1 số tính chất, quan hệ mới từ điều đã giả sử ở trên. Các tính chất, quan hệ mới này mâu thuẫn với đề bài hoặc điều vô lý.

- Bước 3: Suy ra điều giả sửa sai, tức là điều phải chứng minh đúng.

Giải chi tiết

Giả sử \(S + 2\) là số chính phương.

\( \Rightarrow S + 2 = {k^2}\).

Ta có: \(S = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{20}}\).

\( \Rightarrow 2S = {2^2} + {2^3} + ... + {2^{20}} + {2^{21}}\).

\( \Rightarrow 2S - S = ({2^2} + {2^3} + ... + {2^{20}} + {2^{21}}) - (2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{20}})\).

\( \Rightarrow S = {2^{21}} - 2\).

\( \Rightarrow S + 2 = {2^{21}}\) hay \( \Rightarrow {k^2} = {2^{21}}\) (vô lí).

Vậy tổng \(S + 2\)với \(S = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{20}}\) không là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link