Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) thì \({\left( {n + 1} \right)^4} + {n^4} + 1\) không

Câu hỏi số 529670:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) thì \({\left( {n + 1} \right)^4} + {n^4} + 1\) không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529670

Phương pháp giải

Để chứng minh một khẳng định là đúng theo phương pháp phản chứng, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Giả sử \({\left( {n + 1} \right)^4} + {n^4} + 1\) là số chính phương.

- Bước 2: Suy luận 1 số tính chất, quan hệ mới từ điều đã giả sử ở trên. Các tính chất, quan hệ mới này mâu thuẫn với đề bài hoặc điều vô lý.

- Bước 3: Suy ra điều giả sửa sai, tức là điều phải chứng minh đúng.

Giải chi tiết

Giả sử \({\left( {n + 1} \right)^4} + {n^4} + 1\) là số chính phương.

Ta có \({\left( {n + 1} \right)^4} + {n^4} + 1 = 2{n^4} + 4{n^3} + 6{n^2} + 4n + 2\)

\( = 2\left( {{n^4} + 2{n^3} + 3{n^2} + 2n + 1} \right) = 2{\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}.\)

Do \({n^2} + n + 1 = n\left( {n + 1} \right) + 1\) là số lẻ nên \({\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}\) là số lẻ.

\( \Rightarrow {\left( {n + 1} \right)^4} + {n^4} + 1\) chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vô lí).

Vậy \({\left( {n + 1} \right)^4} + {n^4} + 1\) không là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link