Trong kì thi chọn đội tuyển năng khiếu của trường \(T\) có \(n\) môn \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n

Câu hỏi số 530876:

Vận dụng cao

Trong kì thi chọn đội tuyển năng khiếu của trường \(T\) có \(n\) môn \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 5} \right),\) mọi môn thi đều có thí sinh tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

- Có ít nhất 5 môn có số lượng thí sinh tham gia thi đôi một khác nhau.

- Với 2 môn thi bất kì, luôn tìm được 2 môn thi khác có tổng số lượng thí sinh tham gia bằng với tổng số lượng thí sinh của 2 môn đó.

Hỏi kì thi có ít nhất bao nhiêu môn được tổ chức?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530876

Phương pháp giải

Ta gọi \({S_n}\) là số môn học có đúng \(n\) thí sinh tham gia thi, với \(S,n \in \mathbb{N}*\)

Chia trường hợp để giải bài toán.

Giải chi tiết

Ta gọi \({S_n}\) là số môn học có đúng \(n\) thí sinh tham gia thi, với \(S,n \in \mathbb{N}*\)

Vì có ít nhất \(5\) môn có số lượng thí sinh tham gia đôi một khác nhau nên ta có thể chọn ra \({n_1},{n_2},{n_3},{n_4},{n_5}\) với \({n_1} < {n_2} < {n_3} < {n_4} < {n_5}\)

Chọn ra \(2\) môn có lượng thí sinh tham gia thi là \({n_4}\) và \({n_5}\)(tức hai số lớn nhất trong \(5\) số \({n_1},{n_2},{n_3},{n_4},{n_5}\))

Theo giả thiết, với \(2\) môn bất kỳ luôn tìm được \(2\) môn khác có tổng lượng thí sinh tham gia bằng với tổng lượng thí sinh của hai môn đó, nên \({S_{{n_4}}} \ge 2,{S_{{n_5}}} \ge 2\)

Vì số môn có \({n_5}\) thí sinh tham gia lớn hơn hoặc bằng hai, ta tiếp tục chọn ra \(2\) môn có \({n_5}\) thí sinh tham gai, vì với \(2\) môn bất kỳ luôn tìm được \(2\) môn khác có tổng lượng thí sinh tham gia bằng với tổng lượng thí sinh của hai môn đó, nên ta lại có \({S_{{n_5}}} \ge 4\)

Tương tự ta chứng minh được \({S_{{n_1}}} \ge 4,{S_{{n_2}}} \ge 2\)

Vậy số môn học luôn lớn hơn hoặc bằng: \({S_{{n_1}}} + {S_{{n_2}}} + {S_{{n_3}}} + {S_{{n_4}}} + {S_{{n_5}}} \ge 4 + 2 + 1 + 2 + 4 = 13\)

Dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại \({n_1} = 5,{n_2} = 10,{n_3} = 15,\) \({n_4} = 20,{n_5} = 15\) và \({S_{{n_1}}} = {S_{{n_5}}} = 4;\) \({S_{{n_2}}} = {S_{{n_4}}} = 2;{S_{{n_3}}} = 1.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link