Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = \sin \,x.{\sin ^2}2x,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng
Câu 531421: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = \sin \,x.{\sin ^2}2x,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng
A. \(\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{121}}{{225}}\)
B. \( - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{121}}{{450}}\)
C. \(\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{217}}{{450}}\)
D. \(\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{104}}{{225}}\)
Tính \(\int {f'\left( x \right)dx} \)
Thay \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) để tìm ra \(C\), từ đó tìm được \(f\left( x \right)\).
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = \sin \,x.{\sin ^2}2x\,\forall x \in {\bf{R}}\) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\)
Khi đó: \(\int {f'\left( x \right)dx = \int {\sin \,x.\sin {\,^2}2xdx = \int {\sin \,x.\dfrac{{1 - cos4x}}{2}dx} } } \)
\( = \dfrac{1}{2}\int {\sin \,xdx - \dfrac{1}{2}\int {\sin \,x.\,cos4xdx} } \)
\( = \dfrac{1}{2}\int {\sin \,xdx - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\int {\left( {\sin \left( { - 3x} \right) + \sin \,5x} \right)dx} } \)
\( = \dfrac{1}{2}\int {\sin \,xdx + \dfrac{1}{4}\int {\sin 3xdx - \dfrac{1}{4}\int {\sin 5xdx} } } \)
\( = - \dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{1}{{12}}cos3x + \dfrac{1}{{20}}cos5x + C\)
Suy ra \(f\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{1}{{12}}cos3x + \dfrac{1}{{20}}\,cos5x + C\,\forall x \in {\bf{R}}\)
Mà \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0 - 0 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1\)
Do đó \(f\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{1}{{12}}cos3x + \dfrac{1}{{20}}\,cos5x + 1\forall x \in {\bf{R}}\)
Khi đó: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{104}}{{225}}} \)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com