Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = \sin

Câu hỏi số 531421:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = \sin \,x.{\sin ^2}2x,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{121}}{{225}}\)

B. \( - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{121}}{{450}}\)

C. \(\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{217}}{{450}}\)

D. \(\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{104}}{{225}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531421

Phương pháp giải

Tính \(\int {f'\left( x \right)dx} \)

Thay \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) để tìm ra \(C\), từ đó tìm được \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \sin \,x.{\sin ^2}2x\,\forall x \in {\bf{R}}\) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\)

Khi đó: \(\int {f'\left( x \right)dx = \int {\sin \,x.\sin {\,^2}2xdx = \int {\sin \,x.\dfrac{{1 - cos4x}}{2}dx} } } \)

\( = \dfrac{1}{2}\int {\sin \,xdx - \dfrac{1}{2}\int {\sin \,x.\,cos4xdx} } \)

\( = \dfrac{1}{2}\int {\sin \,xdx - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\int {\left( {\sin \left( { - 3x} \right) + \sin \,5x} \right)dx} } \)

\( = \dfrac{1}{2}\int {\sin \,xdx + \dfrac{1}{4}\int {\sin 3xdx - \dfrac{1}{4}\int {\sin 5xdx} } } \)

\( = - \dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{1}{{12}}cos3x + \dfrac{1}{{20}}cos5x + C\)

Suy ra \(f\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{1}{{12}}cos3x + \dfrac{1}{{20}}\,cos5x + C\,\forall x \in {\bf{R}}\)

Mà \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0 - 0 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1\)

Do đó \(f\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{1}{{12}}cos3x + \dfrac{1}{{20}}\,cos5x + 1\forall x \in {\bf{R}}\)

Khi đó: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{104}}{{225}}} \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.