Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 3a,\) tam giác \(SAB\) đều
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 3a,\) tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CD\) và \(SG\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB,\,K\) là trung điểm của \(CD\).
Đường thẳng đi qua \(G\) cắt \(AD,BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Khi đó \(EF//AB//CD\)
Gọi giao điểm của \(HK\) và \(EF\) là \(O\)
Kẻ \(KI \bot SO\)
Khi đó: \(d\left( {CD,SG} \right) = d\left( {D,\left( {SEF} \right)} \right) = KI\)
Sử dụng định lí Py-ta-go và lượng giác trong các tam giác vuông để tính \(KI\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB,\,K\) là trung điểm của \(CD\).
Đường thẳng đi qua \(G\) cắt \(AD,BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Khi đó \(EF//AB//CD\)
Gọi giao điểm của \(HK\) và \(EF\) là \(O\)
Kẻ \(KI \bot SO\)
Khi đó: \(d\left( {CD,SG} \right) = d\left( {D,\left( {SEF} \right)} \right) = KI\)
Theo định lí Ta-let ta có: \(BF//DE \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{DE}} = \dfrac{{GB}}{{GD}} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{DE}} = \dfrac{{GB}}{{GD}} = \dfrac{1}{3}\)
Ta có: \(AE = HO = a\)
Và \(SH\) là đường cao trong tam giác đều cạnh \(a\) nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong tam giác vuông \(SHO\) ta có: \(\tan \angle HSO = \dfrac{{HO}}{{SH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Trong tam giác vuông \(SHK\) ta có: \(\tan \angle HSK = \dfrac{{HK}}{{SH}} = \dfrac{{3a}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{6}{{\sqrt 3 }}\)
Từ đây ta tính được \(\angle ISK \approx 24,{79^o} \Rightarrow \sin \angle ISK = \dfrac{4}{{\sqrt {91} }}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SHK\) ta có: \(S{K^2} = S{H^2} + H{K^2}\)
ta tính được \(SK = = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {39} }}{2}\)
Trong tam giác vuông \(SIK\) ta có: \(\sin \angle ISK = \dfrac{{KI}}{{SK}}\) suy ra \(KI = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{7}a\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
