Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 3a,\) tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CD\) và \(SG\) bằng
Câu 531422: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 3a,\) tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CD\) và \(SG\) bằng
A. \(\dfrac{{\sqrt {21} a}}{7}\)
B. \(\dfrac{{\sqrt 7 a}}{2}\)
C. \(\dfrac{{2\sqrt {21} a}}{7}\)
D. \(\sqrt 7 a\)
Quảng cáo
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB,\,K\) là trung điểm của \(CD\).
Đường thẳng đi qua \(G\) cắt \(AD,BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Khi đó \(EF//AB//CD\)
Gọi giao điểm của \(HK\) và \(EF\) là \(O\)
Kẻ \(KI \bot SO\)
Khi đó: \(d\left( {CD,SG} \right) = d\left( {D,\left( {SEF} \right)} \right) = KI\)
Sử dụng định lí Py-ta-go và lượng giác trong các tam giác vuông để tính \(KI\).
-
Đáp án : C(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB,\,K\) là trung điểm của \(CD\).
Đường thẳng đi qua \(G\) cắt \(AD,BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Khi đó \(EF//AB//CD\)
Gọi giao điểm của \(HK\) và \(EF\) là \(O\)
Kẻ \(KI \bot SO\)
Khi đó: \(d\left( {CD,SG} \right) = d\left( {D,\left( {SEF} \right)} \right) = KI\)
Theo định lí Ta-let ta có: \(BF//DE \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{DE}} = \dfrac{{GB}}{{GD}} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{DE}} = \dfrac{{GB}}{{GD}} = \dfrac{1}{3}\)
Ta có: \(AE = HO = a\)
Và \(SH\) là đường cao trong tam giác đều cạnh \(a\) nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong tam giác vuông \(SHO\) ta có: \(\tan \angle HSO = \dfrac{{HO}}{{SH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Trong tam giác vuông \(SHK\) ta có: \(\tan \angle HSK = \dfrac{{HK}}{{SH}} = \dfrac{{3a}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{6}{{\sqrt 3 }}\)
Từ đây ta tính được \(\angle ISK \approx 24,{79^o} \Rightarrow \sin \angle ISK = \dfrac{4}{{\sqrt {91} }}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SHK\) ta có: \(S{K^2} = S{H^2} + H{K^2}\)
ta tính được \(SK = = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {39} }}{2}\)
Trong tam giác vuông \(SIK\) ta có: \(\sin \angle ISK = \dfrac{{KI}}{{SK}}\) suy ra \(KI = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{7}a\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
