Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A.\) \(AB = a,\,\angle SBA = \angle SCA = {90^o}.\) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\)là \({60^o}\). Thể tích khối chóp đã cho bằng?

Câu 531423: Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A.\) \(AB = a,\,\angle SBA = \angle SCA = {90^o}.\) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\)là \({60^o}\). Thể tích khối chóp đã cho bằng?

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

C. \(3{a^3}\)

D. \({a^3}\)

Câu hỏi : 531423

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng: dựng \(BH \bot SA \Rightarrow CH \bot SA\) và \(BH = CH\)\( \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {BH,CH} \right)\)

Lập luận, chỉ ra \(\angle BHC = {120^o} \Rightarrow \Delta BHC\) cân tại đỉnh \(H\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(\Delta SAB = \Delta SAC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Trong tam giác \(SAB,\) dựng \(BH \bot SA \Rightarrow CH \bot SA\) và \(BH = CH\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {BH,CH} \right)\)
Nếu \(\angle BHC = {90^o} \Rightarrow \Delta BHC\) vuông cân tại đỉnh \(H\) suy ra \(H{B^2} + H{C^2} = B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow HB = a\sqrt 2 > a = BA\)
Trong tam giác \(SAB\) có đường cao > cạnh góc vuông (vô lý)
Vậy \(\angle BHC = {120^o} \Rightarrow \Delta BHC\) cân tại đỉnh \(H\)
\(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2} - 2BH.CH.\cos \angle BHC\)
\( \Rightarrow 2{a^2} = 2BH\left( {1 - \,cos{{120}^o}} \right) \Rightarrow B{H^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow BH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
Tam giác \(BHA\) vuông tại đỉnh \(B,\,BH \bot SA:\,A{B^2} = AH.SA\)
\( \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.SA \Rightarrow SA = a\sqrt 3 \)
Ta có: \(SH \bot BH,\,SH \bot CH\, \Rightarrow SH \bot \left( {BHC} \right)\)
\(AH \bot BH,\,AH \bot CH\, \Rightarrow AH \bot \,\left( {BHC} \right)\)
\( \Rightarrow {V_{SABC}} = {V_{SBHC}} + {V_{ABHC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{BHC}} + \dfrac{1}{3}AH.{S_{BHC}}\)
\( = \dfrac{1}{3}{S_{BHC}}.\left( {SH + AH} \right) = \dfrac{1}{3}{S_{BHC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.\sin {120^o}.a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}}}{6}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.