Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y + z + 5 = 0;\,\left( Q \right):x + y + z + 1 = 0;\,\left( R \right):x + y + z + 2 = 0\). Ứng với mỗi cặp \(A,B\) lần lượt thuộc hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) thì mặt cầu đường kính \(AB\) luôn cắt mặt phẳng \(\left( R \right)\) theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.

Câu 531424: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y + z + 5 = 0;\,\left( Q \right):x + y + z + 1 = 0;\,\left( R \right):x + y + z + 2 = 0\). Ứng với mỗi cặp \(A,B\) lần lượt thuộc hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) thì mặt cầu đường kính \(AB\) luôn cắt mặt phẳng \(\left( R \right)\) theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.

A. \(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Câu hỏi : 531424

Phương pháp giải:

Ta tính khoảng cách giữa các mặt phẳng.

Chỉ ra: Bán kính nhỏ nhất của đường tròn \( \Leftrightarrow AB\) vuông góc cả \(3\) mặt phẳng.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \({d_{\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {5 - 1} \right) = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\)
\({d_{\left( {_{\left( P \right),\left( R \right)}} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {5 - 2} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt 3 }}\)
\({d_{\left( {\left( R \right),\left( Q \right)} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Bán kính nhỏ nhất của đường tròn \( \Leftrightarrow AB\) vuông góc cả \(3\) mặt phẳng.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IA = IB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Kẻ \(IH \bot \left( R \right)\)
\( \Rightarrow IH = IB - HB = \left( {2 - 1} \right)\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Bán kính nhỏ nhất khi \(R = \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = 1\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.