Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\dfrac{{x +

Câu hỏi số 531425:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{z}{1};\,{\Delta _2}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}.\) đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 5 = 0\)và cắt hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho \(AB\) ngắn nhất. Phương trình đường thẳng \(d\) là:

A. \(x - 1 = y - 2 = z - 2\)

B. \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}\)

C. \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

D. \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{1}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531425

Phương pháp giải

Gọi \(A = d \cap {\Delta _1},\,B = d \cap {\Delta _2}\)

Biểu diễn tọa độ của điểm \(A,B\) (theo hai ẩn \(a,b\)) và tính \(\overrightarrow {AB} \)

Sử dụng điều kiện \(d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0\)

Từ đó biểu diễn \(b\) theo \(a\).

Lập luận để độ dài \(AB\) nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi \(A = d \cap {\Delta _1},\,B = d \cap {\Delta _2}\)

Khi đó \(A \in {\Delta _1} \Rightarrow A\left( { - 1 + a; - 2 + 2a;a} \right)\)

\(B \in {\Delta _2} \Rightarrow B\left( {2 + 2b;1 + b;1 + b} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( { - a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1} \right)\)

\(d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 4\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {a - 5; - a - 1; - 3} \right)\)

\(AB = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 27} \ge 3\sqrt 3 \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow A\left( {1;2;2} \right),\,B\left( { - 2; - 1; - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\)

\(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;2;2} \right)\) và có vtcp \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;1;1} \right)\)

Vậy phương trình của \(d\) là \(x - 1 = y - 2 = z - 2\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.