Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\,\left( {a > 0} \right)\) thỏa mãn \({\left(

Câu hỏi số 531433:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\,\left( {a > 0} \right)\) thỏa mãn \({\left( {{2^a} + \dfrac{1}{{{2^a}}}} \right)^{2019}} \le {\left( {{2^{2019}} + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}} \right)^a}\)

A. \(0 < a < 1\)

B. \(0 < a \le 2019\)

C. \(a \ge 2019\)

D. \(\)\(1 < a < 2019\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531433

Phương pháp giải

Lấy logarit cơ số \(2\) hai vế.

Biến đổi để xét hàm số \(f\left( x \right)\). Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và chỉ ra \(f\left( x \right)\) là hàm đơn điệu trên tập xác định.

Khi đó: \(f\left( a \right) \le f\left( {2019} \right),\,\left( {a > 0} \right)\) khi \(0 < a \le 2019\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {{2^a} + \dfrac{1}{{{2^a}}}} \right)^{2019}} \le {\left( {{2^{2019}} + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}} \right)^a}\\ \Rightarrow 2019{\log _2}\left( {{2^a} + \dfrac{1}{{{2^a}}}} \right) \le a{\log _2}\left( {{2^{2019}} + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{\log \left( {{2^a} + \dfrac{1}{{{2^a}}}} \right)}}{a} \le \dfrac{{{{\log }_2}\left( {{2^{2017}} + \dfrac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)}}{{2017}}\end{array}\)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{{{\log }_2}\left( {{2^x} + \dfrac{1}{{{2^x}}}} \right)}}{x} = \dfrac{{{{\log }_2}\left( {{4^x} + 1} \right) - x}}{x} = \dfrac{{{{\log }_2}\left( {{4^x} + 1} \right)}}{x} - 1\)

Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{\ln 2}}\left[ {\dfrac{{{4^x}\ln {4^x} - \left( {{4^x} + 1} \right)\ln \left( {{4^x} + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {{4^x} + 1} \right)}}} \right] < 0,\,\forall x > 0\)

Nên \(y = f\left( x \right)\) là hàm giảm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó \(f\left( a \right) \le f\left( {2019} \right),\,\left( {a > 0} \right)\) khi \(0 < a \le 2019\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.