Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ một điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\),

Câu hỏi số 532652:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ một điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh \(MAOB\) nội tiếp.

b) Vẽ đường kính \(BK\) của đường tròn \(\left( O \right)\), \(H\) là điểm trên \(BK\) sao cho \(AH\) vuông góc với \(BK\). Điểm \(I\) là giao điểm của \(AH,\,MK\). Chứng minh \(I\) là trung điểm \(HA\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532652

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AB\) với \(MO\).

\(C\) là giao điểm giữa \(MK\) với đường tròn \(\left( O \right)\)

Ta sẽ chứng minh: \(\left\{ \begin{array}{l}NI//BK\\NA = NB = \dfrac{1}{2}AB\end{array} \right.\)

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(AH\)

\( \Rightarrow IA = IH\) (định lí đường trung bình của tam giác)

Giải chi tiết

a) Vì \(MA,\,\,MB\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(A,\,\,B\) nên \(\angle MAO = \angle MBO = {90^0}\) (định nghĩa).

Tứ giác \(MAOB\) có \(\angle MAO + \angle MBO = {180^0}\).

Suy ra tứ giác \(MAOB\) nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng bằng \({180^0}\)).

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AB\) với \(MO\).

\(C\) là giao điểm giữa \(MK\) với đường tròn \(\left( O \right)\)

Ta có: \(OA = OB \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(AB\).

\(MA = MB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(M\) thuộc trung trực của \(AB\).

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của \(AB\) \( \Rightarrow OM \bot AB\) tại \(N\).

Tứ giác \(MCNB\) có \(\angle MCB = \angle MNB = {90^0}\). Suy ra tứ giác \(MCNB\) nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle NMB = \angle NCB\) (hai góc cùng chắn một cung \(BN\))

Ta có: \(\angle NMB = \angle NBO\) (cùng phụ với \(\angle MBN\))

\( \Rightarrow \angle NCB = \angle NBO\).

Lại có: \(\angle NCB + \angle NCI = {90^0},\,\,\,\angle NAI + \angle NBO = {90^0}\)

Suy ra \(\angle NCI = \angle NAI\).

Xét tứ giác \(ACNI\) có: \(\angle NCI = \angle NAI\) (cmt), suy ra tứ giác \(ACNI\) nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle ANI = \angle ACI\) (hai góc cùng chắn cung \(AI\)).

Trong \(\left( O \right)\) có: \(\angle ACI = \angle ABK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AK\))

Suy ra \(\angle ANI = \angle ABK\). Mà hai góc này vị trí đồng vị \( \Rightarrow NI//BK\)

Tam giác \(ABK\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}NI//BK\\NA = NB = \dfrac{1}{2}AB\end{array} \right.\)

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(AH\)

\( \Rightarrow IA = IH\) (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link