Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {e^x}.c{\rm{os}}x\) trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\)

Câu hỏi số 533538:

Thông hiểu

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {e^x}.c{\rm{os}}x\) trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là:

A. 1

B. \(\dfrac{1}{2}.{e^{\dfrac{\pi }{3}}}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.{e^{\dfrac{\pi }{6}}}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.{e^{\dfrac{\pi }{4}}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:533538

Phương pháp giải

Tìm GTLN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(y = {e^x}.c{\rm{os}}x \Rightarrow y' = {e^x}c{\rm{os}}x - {e^x}\sin x = {e^x}\left( {c{\rm{os}}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\)

\(y' = 0 \Rightarrow c{\rm{os}}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow x - \dfrac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in {\bf{Z}}\)

Trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\)ta được \(x = \dfrac{\pi }{4}\).

Khi đó \(y\left( 0 \right) = 1;y\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0;y\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.{e^{\dfrac{\pi }{4}}}\).

Vậy \(\mathop {{\rm{max y}}}\limits_{\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.{e^{\dfrac{\pi }{4}}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.