Tìm hệ số của số hạng \({x^{10}}\) trong khai triển \(f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}{x^2} + x +

Câu hỏi số 533541:

Vận dụng

Tìm hệ số của số hạng \({x^{10}}\) trong khai triển \(f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}{x^2} + x + 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^{3n}}\) với \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n\).

A. \({2^5}C_{19}^{10}\)

B. \({2^3}C_{19}^9\)

C. \({2^7}C_{19}^9\)

D. \({2^9}C_{19}^{10}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:533541

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổ hợp, chỉnh hợp: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\); \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton.

Giải chi tiết

Điều kiên \(n \in {\bf{N}},n \ge 3\)

Ta có: \(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} = 14n \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} = 14n\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right) + n - 1 = 28 \Leftrightarrow 2{n^2} - 5n - 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 5\left( {TM} \right)}\\{n = \dfrac{{ - 5}}{2}\left( {KTM} \right)}\end{array}} \right.\)

Do đó \(f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}{x^2} + x + 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^{15}} = \dfrac{1}{{16}}{\left( {x + 2} \right)^{19}}\)

Số hạng thứ \(k + 1\) trong khai triển là \({T_{k + 1}} = \dfrac{1}{{16}}.C_{19}^k.{x^{19 - k}}{.2^k}\left( {k \in {\bf{Z}},0 \le k \le 19} \right)\)

Để tìm số hạng chứa \({x^{10}}\) thì \(19 - k = 10 \Leftrightarrow k = 9\left( {TM} \right)\)

Vậy số hạng chứa \({x^{10}}\)là \(\dfrac{1}{{16}}.C_{19}^{10}{.2^9} = {2^5}C_{19}^{10}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.