Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm liên tục trên \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn

Câu hỏi số 533553:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm liên tục trên \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = f\left( x \right).\cot x + 2x.{\mathop{\rm s}\nolimits} i{\rm{nx}}\). Biết \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\). Tính \(f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)\).

A. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{36}}\)

B. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{72}}\)

C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{54}}\)

D. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{80}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:533553

Phương pháp giải

Biến đổi \(f'\left( x \right) = f\left( x \right).\cot x + 2x.\sin {\rm{x}} \Leftrightarrow {\rm{sinx}}.f'\left( x \right) - f\left( x \right).c{\rm{os x = 2x}}{\rm{.si}}{{\rm{n}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.f'\left( x \right) - f\left( x \right){\rm{ }}{\rm{.cos }}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}x}} = 2x\)

Sau đó lấy tích phân hai vế, ta tìm được \(f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = f\left( x \right).\cot x + 2x.\sin {\rm{x}} \Leftrightarrow {\rm{sinx}}.f'\left( x \right) - f\left( x \right).c{\rm{os x = 2x}}{\rm{.si}}{{\rm{n}}^2}x \Leftrightarrow \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.f'\left( x \right) - f\left( x \right){\rm{ }}{\rm{.cos }}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}x}} = 2x\)

Do đó \( \Rightarrow \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.f'\left( x \right) - f\left( x \right){\rm{ }}{\rm{.cos }}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}x}}} dx = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {2xdx} \Rightarrow \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} \right)} dx = {x^2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{\pi }{2}}\\{\dfrac{\pi }{6}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{\pi }{2}}\\{\dfrac{\pi }{6}}\end{array}} \right. = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} - \dfrac{{{\pi ^2}}}{{36}} \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)}}{1} - \dfrac{{f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)}}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} - \dfrac{{{\pi ^2}}}{{36}} \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{72}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.