Cho \(a,b\) là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \({\log _{{a^2} + {b^2} + 20}}\left( {6a - 8b - 4}
Cho \(a,b\) là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \({\log _{{a^2} + {b^2} + 20}}\left( {6a - 8b - 4} \right) = 1\) và \(c,d\) là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \(\sqrt {{c^2} + c + {{\log }_2}\dfrac{c}{d} - 7} = \sqrt {2\left( {2{d^2} + d - 3} \right)} \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {a - c + 1} \right)}^2} + {{\left( {b - d} \right)}^2}} \)là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Biến đổi \({\log _{{a^2} + {b^2} + 20}}\left( {6a - 8b - 4} \right) = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 20 = 6a - 8b - 4 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 4} \right)^2} = 1\)
Biến đổi \(\sqrt {{c^2} + c + {{\log }_2}\dfrac{c}{d} - 7} = \sqrt {2\left( {2{d^2} + d - 3} \right)} \) về phương trình đường thẳng.
Từ đó lập luận vị trí điểm \(M,N\) để \(M{N_{\min }}\).
Ta có \({\log _{{a^2} + {b^2} + 20}}\left( {6a - 8b - 4} \right) = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 20 = 6a - 8b - 4 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 4} \right)^2} = 1\left( 1 \right)\)
Lại có: \(\sqrt {{c^2} + c + {{\log }_2}\dfrac{c}{d} - 7} = \sqrt {2\left( {2{d^2} + d - 3} \right)} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{c^2} + c + {{\log }_2}\dfrac{c}{d} - 7 = 2\left( {2{d^2} + d - 3} \right)}\\{2{d^2} + d - 3 \ge 0;d,c > 0\left( {gt} \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{c^2} + c + {{\log }_2}c = {{\left( {2d} \right)}^2} + 2d + {{\log }_2}2d}\\{d \ge 1;c > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c - 1 = 2d - 1}\\{d \ge 1;c \ge 2}\end{array}} \right.\left( 2 \right)\)
Đặt \(M\left( {a;b} \right);N\left( {c - 1;d} \right)\). Theo (1) ta được \(M\) thuộc đường tròn \(I\left( {3; - 4} \right)\) bán kính \(R = 1\) ; theo (2) ta được \(N\)thuộc nửa đường thẳng \(y = 2x - 1\) ứng với \(x \ge 1\).
Khi đó \(MN = \sqrt {{{\left( {a - c + 1} \right)}^2} + {{\left( {b - d} \right)}^2}} \)
Vậy \(M{N_{\min }} = {N_1}I - R = \sqrt {29} - 1\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
