Cho đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\) đường kính \(AB\). Lấy điểm \(C\) trên đường tròn sao

Câu hỏi số 534757:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\) đường kính \(AB\). Lấy điểm \(C\) trên đường tròn sao cho \(\angle AOC = {45^0}\). Đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với \(AB\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\). Kéo dài \(BC\) và \(DA\) cắt nhau tại \(M\). Kẻ \(MH \bot AB\) tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(AHMC\) nội tiếp.

b) Chứng minh: \(\angle ACH = \angle ABC\)

c) Tính diện tích hình quạt \(OCB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:534757

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng kiến thức về góc nội tiếp, góc của hai đường thẳng song song.

c) Tính \(\angle COB \Rightarrow \) số đo cung \(BC\)

Áp dụng công thức tính hình quạt có sô đo cung \(n\) là: \(S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\)

Giải chi tiết

a) Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle ACB = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle ACM = {90^0}\) (vì \(\angle ACB\) và \(\angle ACM\) là hai góc kề bù)

Ta có: \(MH \bot AB\) tại \(H\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MHA = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AHMC\) có: \(\angle ACM + \angle MHA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AHMC\) nội tiếp (dhnb)

b) Tứ giác \(AHMC\) nội tiếp \(\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle HMA = \angle HCA\) (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AH\))

Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle ABC = \angle ADC\) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MH \bot AB\\CD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow MH//CD\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \angle HMA = \angle ADC\) (3) (hai góc ở vị trí so le trong)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\angle ACH = \angle ABC\) (đpcm)

c) Ta có: \(\angle AOC + \angle COB = {180^0}\) (hai góc kề bù)

Mà \(\angle AOC = {45^0}\left( {gt} \right)\)

Do đó, \(\angle COB = {180^0} - \angle AOC = {180^0} - {45^0} = {135^0}\)

\( \Rightarrow \) sđ cung \(BC = {135^0}\)

Diện tích hình quạt \(OCB\) là: \(S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{.2}^2}.135}}{{360}} = \dfrac{3}{2}\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link