Trên nửa đường tròn đường kính \(AD\) lấy hai điểm \(B,C\) phân biệt sao cho \(B\) ở giữa

Câu hỏi số 535170:

Vận dụng

Trên nửa đường tròn đường kính \(AD\) lấy hai điểm \(B,C\) phân biệt sao cho \(B\) ở giữa \(A\) và \(C\) (\(B\) khác \(A\) và \(C\) khác \(D\)). Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(F\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(E\) xuống \(AD\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(DCEF\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Hai tam giác \(CEF\) và \(CBA\) đồng dạng với nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535170

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng kiến thức về góc nội tiếp, chứng minh được các cặp góc bằng nhau

Giải chi tiết

a) Ta có: \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(AD\) nên \(\angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn đường nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle ECD = {90^0}\).

Vì \({\rm{EF}} \bot AD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle EFD = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle {\rm{EF}}D + \angle ECD = {180^0}\)

\( \Rightarrow DCEF\) nội tiếp trong một đường tròn (dhnb).

b) Ta có: \(DCEF\) nội tiếp trong một đường tròn (cmt)

\( \Rightarrow \)\(\angle EFC = \angle BDC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\)).

Mà \(\angle BDC = \angle BAC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\)).

\( \Rightarrow \angle EFC = \angle BAC\).

Ta lại có: \(\angle ABC + \angle ADC = {180^0}\) (do \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp)

\(\angle FEC + \angle ADC = {180^0}\)(do tứ giác \(DCEF\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \angle FEC = \angle ABC\) (cùng bù \(\angle ADC\))

Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta CBA\) có: \(\angle EFC = \angle BAC\) (cmt); \(\angle FEC = \angle ABC\) (cmt)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link