Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right)\) có bảng biến

Câu hỏi số 538273:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là -3; 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x - m} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\)?

A. 12

B. 14

C. 11

D. 13

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm \(y'\).

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\) \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\) và dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm.

- Đưa bất phương trình về dạng \(\left\{ \begin{array}{l}m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\\m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y = f\left( {{x^2} + 2x - m} \right) \Rightarrow y' = \left( {2x + 2} \right).f'\left( {{x^2} + 2x - m} \right)\)

Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x - m} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + 2} \right).f'\left( {{x^2} + 2x - m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\) và dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm.

\( \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} + 2x - m} \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\) (*) (vì \(2x + 2 > 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\))

Vì đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là -3; 2 nên ta có:

Khi đó:

(*)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - m \le - 3\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\{x^2} + 2x - m \ge 2\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 \ge {x^2} + 2x\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\m + 2 \le {x^2} + 2x\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 2x\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta có \(g'\left( x \right) = 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\). Khi đó ta có BBT:

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 \ge 3\\m + 2 \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 6\\m \le - 3\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện đề bài \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) suy ra \(m \in \left[ { - 10; - 3} \right] \cup \left[ {6;10} \right]\).

Vậy có 13 giá trị \(m\) nguyen thỏa mãn đề bài.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:538273

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.